Función cuadrática: Parábola


Actividad Nº 10



 

1- Función cuadrática

Como ya sabes, una función es una relación entre dos magnitudes, x y f(x), de manera que a cada valor de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda, que se llama imagen

Función cuadrática es aquella función que está determinada por la ecuación de segundo grado (cuadrática) de la forma;

Funcion_cuadratica_1.jpg (660×130)

 

Donde a, b y c son números reales, y a ≠ 0, ya que si a = 0 se anula x2, y no sería una ecuación cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática se denomina parábola.

 

2- Representación gráfica: Parábola

La parábola de la función cuadrática, es una curva simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas, la cual se denomina eje de simetría. La parábola se compone de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación cuadrática          y = ax2 + bx c. 

El trazado de parábola de la función cuadrática está determinada por un vértice,  por el cual se traza el eje de simetría, los puntos de corte en el eje x y el punto de corte en el eje y. Al trazado de la parábola se le denomina ramas de la parábola.

Si graficamos una parábola de una función cuadrática, podemos ver:

 

Funcion_cuadratica_2.jpg (660×750)

Estos puntos que forman la parábola, están determinados por los coeficientes numéricos a y b de x2 y x respectivamente, y el término independiente c de la ecuación cuadrática.

 

Funcion_cuadratica_3.jpg (660×390)

 

2.1- Ramas de la parábola

Para determinar el sentido de las ramas de la parábola (hacia arriba o hacia abajo), dependerá del coeficiente numérico a de x2.

Si a es mayor que cero (o sea, a es un número positivo), las ramas de la parábola irán hacia arriba, y si a es menor que cero (o sea, a es un número negativo), las ramas de la parábola irán hacia abajo.

 

Funcion_cuadratica_4.jpg (660×1500)

 

También dependerá del  coeficiente numérico a, la dilatación o contracción de la parábola, ya que, si aumenta el valor absoluto de a, la parábola se contrae y si disminuye el valor absoluto de a, la parábola se dilata.

Veamos un ejemplo;

Funcion_cuadratica_5.jpg (600×800)

 

2.2- Punto de corte con el eje y

El punto de corte en el eje y está determinado por el valor del término independiente c, ya que, si analizamos una función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c, con x = 0 obtenemos;

Funcion_cuadratica_6.jpg (660×320)

Entonces, el punto de coordenadas (0, c)  de una función cuadrática f (x) = ax2 + bx + c, corresponde al punto en que la parábola corta al eje y

 

Funcion_cuadratica_7.jpg (660×740)

 

 

2.3- Puntos de corte con el eje X

Para determinar los puntos donde la parábola atravesará el eje x o de las abscisas, analizaremos la función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c. Primero, sabemos que los puntos sobre el eje x tienen que tener coordenada y igual a cero (x, 0), por lo tanto la función es igual a cero y = f (x) = 0, que es igual a;  

Funcion_cuadratica_8.jpg (600×60)

 

Como puedes ver, tenemos una ecuación de segundo grado con una incógnita, la cual podemos resolver con la fórmula general;

Funcion_cuadratica_9.jpg (600×270)

 

Entonces, así obtenemos las dos raíces de la ecuación cuadrática, serían los puntos de intersección con el eje x. Las coordenadas de estos puntos serán;

 

Funcion_cuadratica_10.jpg (600×650)

 

Como sabemos, las raíces de una ecuación cuadrática dependen del discriminante.

Recuerda que el discriminante es la cantidad subradical b2 - 4 a c y se designa con la letra delta.

Funcion_cuadratica_11.jpg (600×70)

Según el valor del discriminante, la función cuadrática corta dos, una o ninguna vez el eje x;

 

Funcion_cuadratica_12.jpg (660×1220)

 

 

2.4- Vértice y eje de simetría

El vértice es el punto donde cambia de dirección la parábola, es por donde pasa el eje de simetría. Cuando a > 0 el vértice será el punto mínimo de la parábola, en cambio, sí   a < 0 el vértice será el punto máximo de la parábola.

Funcion_cuadratica_13.jpg (660×920)

 

Para encontrar el vértice, debemos obtener las coordenadas de este punto.

Para esto, sabemos que la parábola es simétrica, por lo tanto, podemos encontrar el componente x del vértice que se denomina xv, ya que está justo en la mitad entre las raíces (o soluciones) de la ecuación cuadrática.

Entonces, el componente xv, lo podemos encontrar promediando las raíces;

 

Funcion_cuadratica_14.jpg (600×150)

 

Según las propiedades de las raíces x1 + x2 = (- b/a). Reemplazamos;

 

Funcion_cuadratica_15.jpg (600×520)

Obteniendo este punto podemos trazar el eje de simetría, ya que, éste es una recta paralela al eje y (ordenadas) y que pasa por el vértice.

Luego, para encontrar el componente y, que se denomina yv, reemplazamos xv en la fórmula de función cuadrática;

 

Funcion_cuadratica_16.jpg (660×1290)

 

Entonces, las coordenadas del vértice de una parábola de función cuadrática de la forma  f (x) = ax2 + bx + c serán;

 

Funcion_cuadratica_17.jpg (660×170)

 

Si lo graficamos sería;

 

Funcion_cuadratica_18.jpg (600×580)

 

Si analizas estas coordenadas te darás cuenta que;

 

  • Si b = 0, el eje y es el eje de simetría de la parábola.

 

  • Si a > 0 y b > 0, el vértice de la parábola se encontrará a la izquierda del eje y, ya que;  - b/2a < 0.

 

  • Si a > 0 y b < 0, el vértice de la parábola se encontrará a la derecha del eje y, ya que;  - b2a > 0.

 

  • Si a < 0 y b < 0, el vértice de la parábola se encontrará a la izquierda del eje y, ya que; - b/2a < 0.

 

  • Si a < 0 y b > 0, el vértice de la parábola se encontrará a la derecha del eje y, ya que;  - b2a > 0.

 

Ejemplos de funciones cuadráticas;

 

1) Grafiquemos la función y = x2 + 1.

Para poder graficar esta función cuadrática debemos asignar arbitrariamente valores a x para encontrar los que corresponden a y. Luego de hacer esta tabla podrás graficar en el plano cartesiano. 

 

Funcion_cuadratica_19.jpg (660×820)

 

En la parábola de esta función podemos observar que;

- La curva no toca el eje x, por que las raíces son imaginarias.

Esto lo que podemos comprobar si reemplazamos b2 - 4ac = 02 - 4 = - 4. Como la discriminante es negativa la curva no toca el eje x.

- La parábola está hacia arriba ya que a = 1, o sea, a > 0.

- El vértice es (0,1) para esta función como a > 0 es el punto mínimo de la parábola, y el eje de simetría corresponde al eje de las ordenadas.

- El eje y se corta en el mismo punto del vértice, ya que c = 1.

 

2) Grafiquemos la función y = - x2 + 2x + 8.

Igual como en el ejemplo 1 asignamos valores a x para encontrar los que corresponden a y, luego graficamos.

 

 

En la parábola de esta función podemos observar que;

- La curva toca al eje x en dos puntos cuyas coordenadas son (-2,0) y (4,0).  Recuerda que los puntos donde la parábola corta el eje x son las raíces de la ecuación cuadrática.

Además podemos comprobar que la parábola corta al eje x en dos puntos, ya que, si reemplazamos los datos en la discriminante b2 - 4ac = 4 + 32 = 36. Como la discriminante es positiva la curva corta al eje x en dos puntos.

- La parábola está hacia abajo ya que a = -1, o sea, a < 0.

- El vértice es (1,9) para esta función como a < 0 es el punto máximo de la parábola. Lo puedes verificar ocupando las fórmulas para encontrar el vértice (- b/2a, c – b2/4a).

- El eje y se corta en el punto (0,8), ya que c = 8.

 


 


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