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Ec. cuadráticas: Deducción y aplicación de la fórmula general
Tercero medio - Actividad Nº 5

 
 
 
 
 
 
 
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 Ec. cuadráticas: Deducción y aplicación de la fórmula general
 
 

 
 
 
 
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1- Fórmula general

La fórmula general, es la que sirve para resolver todas las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, del tipo ax2 + bx + c = 0, con "a" distinto de 0, incluyendo también a las ecuaciones incompletas, considerando b o c igual a 0.

Existen varios métodos para demostrar cómo se llega a esta fórmula general, aquí te mostraremos el que creemos será fácil de comprender.

- Para poder despejar x y llegar a las raíces (o soluciones), lo primero que haremos es despejar el primer término x2, o sea, igualaremos a 1 el término a. Para esto, dividimos por a la ecuación ax2 + bx + c = 0, lo que nos servirá para poder formar un trinomio cuadrado perfecto y luego, un cuadrado de binomio (producto notable).

 

 

- Ahora, transponemos el elemento c/a el cual quedará = - c/a. El cuadrado de binomio que crearemos para resolver la ecuación de segundo grado será (x + y)2, que sabemos que es igual al trinomio cuadrado perfecto x2 + 2 x y + y2. Si analizamos esta ecuación podemos ver que, el primer término al cuadrado x2, lo tenemos, el doble del primer término por el segundo término 2xy, es igual a b/a x, y el segundo término al cuadrado y2, no lo tenemos, por lo cual lo tenemos que agregar a ambos lados, a un lado para formar el trinomio cuadrado perfecto, y al otro lado para mantener la igualdad.

 

Formula_general_2.jpg (353×370)

 

- Entonces, factorizamos el trinomio cuadrado perfecto y nos queda el cuadrado de binomio (x + y)2

 

Formula_general_3.jpg (255×190)

 

- Despejamos la incógnita (y), para reemplazarla con los términos originales de la ecuación de segundo grado. Como vimos anteriormente, 2xy = b / ax, si despejamos y nos quedará y = b / 2 a.  Fíjate como lo hicimos en la siguiente gráfica; 

 

Formula_general_4.jpg (113×328)

 

 

- Ahora, reemplazamos el valor de y en la ecuación, resolvemos (b / 2a)2 y sacamos el mínimo común múltiplo que es 4 a2 y resolvemos. 

 

Formula_general_5.jpg (327×402)

 

- Una vez resuelto, para despejar x, nos faltaría eliminar el cuadrado, para lo cual extraemos la raíz, luego transponemos el término b/2a, y sacamos m.cm. y resolvemos. 

 

Formula_general_6.jpg (379×469)

 

Así despejamos x, y obtuvimos la fórmula general que nos dará las dos raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0, con a distinto de 0. Las dos raíces (o soluciones) están determinadas por el signo + o – de la raíz cuadrada de b2 - 4 a c.

 

Formula_general_7.jpg (464×81)

 

Aplicando esta fórmula podrás resolver cualquier ecuación de segundo grado.

 

 

2- Discriminante de la formula general

El discriminante de la fórmula general de una ecuación cuadrática, es la cantidad subradical b2 - 4 a c y se designa con la letra delta delta.jpg (10×11) .

El discriminante delta.jpg (10×11)  es el que determinará las raíces (o soluciones) de una ecuación cuadrática.

Formula_general_8.jpg (116×26)

 

- Cuando delta.jpg (10×11)  > 0 la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales diferentes. Ya que raiz_de_delta.jpg (15×10) existe. Si delta.jpg (10×11) es el cuadrado perfecto, ambas raíces son racionales, y si  delta.jpg (10×11) no es cuadrado perfecto, ambas raíces son irracionales.

- Cuando delta.jpg (10×11)  = 0 la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales e iguales. Ya que la raíz cuadrada se anula ( raiz_de_delta.jpg (15×10) = 0), entonces las soluciones serían igual a –b/ 2a.

- Cuando  delta.jpg (10×11)  < 0 la ecuación cuadrática tiene dos soluciones complejas conjugadas, o sea, no tiene soluciones reales, ya que, la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Son raíces imaginarias.

 

3- Ejemplos aplicando la formula general

Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula general:

a)    8x2 - 2x - 3 = 0.

 

Formula_general_9.jpg (335×768)

 

Respuesta:  Las raíces de la ecuación 8x2 - 2x - 3 = 0 son; x1 = 3/4 y x2 = -1/2.

Como delta.jpg (10×11) = 100, son soluciones reales y racionales.

 

b)    x (x + 3) = 5x + 3.

Para aplicar la fórmula general primero debemos resolver la ecuación y ordenarla  de la forma ax2 + bx + c = 0

 

Formula_general_10.jpg (241×201)

 

Ahora que esta ordenada la ecuación cuadrática, podemos identificar claramente los términos a, b y c, y aplicar la fórmula general.

 

Formula_general_11.jpg (335×813)

 

Respuesta:  Las raíces de la ecuación x (x + 3) = 5x + 3 son; x1 = 3 y x2 = -1.

Como  delta.jpg (10×11) = 16, son soluciones reales y racionales

 

 

 


 
 
 
 
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