Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita


Actividad Nº 34



 

1- Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita

Un sistema de inecuaciones lineales o de primer grado es un conjunto de dos o más inecuaciones lineales.

Para resolver cualquier sistema de inecuaciones lineales, hay que resolver cada inecuación por separado. Las soluciones de estos sistemas serán todos los números reales que satisfacen todas y cada una de las inecuaciones del sistema, es decir, corresponde a la intersección de todas las inecuaciones que forman parte del sistema.

Pueden haber sistemas de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. En este tema veremos los sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

Ejemplo 1:

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales;

Sistema_inecuaciones_lineales_1.jpg (600×140)

 

Para encontrar la solución debemos resolver ambas inecuaciones por separado ocupando las propiedades de las desigualdades, recuerda que siempre la operación se realiza a ambos lados de la desigualdad.

Resolvemos la primera inecuación, recuerda que la operación se realiza a los dos lados de la desigualdad, observa;

 

Sistema_inecuaciones_lineales_2.jpg (600×560)

 

Resolvemos la segunda inecuación;

Sistema_inecuaciones_lineales_3.jpg (600×200)

 

Por lo tanto, la solución del sistema será S = S1 ∩ S2,  los cuales serán todos los valores que a la vez sean mayores que 4 y menores que 5. Podemos expresar la solución de las siguientes maneras;

 

Sistema_inecuaciones_lineales_4.jpg (600×290)

 

Ejemplo 2:

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales;

Sistema_inecuaciones_lineales_5.jpg (600×140)

 

Resolvemos la primera inecuación;

 

Sistema_inecuaciones_lineales_6.jpg (600×220)

 

Resolvemos la segunda inecuación;

Sistema_inecuaciones_lineales_7.jpg (600×200)

 

Si representamos gráficamente las soluciones de las dos inecuaciones del sistema podrás ver qué;

 

Sistema_inecuaciones_lineales_8.jpg (600×100)

El conjunto de solución de este sistema de inecuaciones es igual al  conjunto vacío es decir, ningún valor de x satisface a ambas inecuaciones a la vez.

S1 ∩ S2 = ᴓ. En este caso se dice que el sistema no tiene solución.

Nota: La solución de un sistema de inecuaciones puede ser, el conjunto vacío (ᴓ), un intervalo de números reales, o un conjunto con infinitos elementos.

 

2- Problemas que involucran sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita:

Cuando tengas que resolver problemas que involucran sistemas de inecuaciones lineales puedes seguir los siguientes pasos para poder resolverlos;

a. Nombra al término desconocido con una incógnita.

b. Establece una relación entre los datos conocidos y desconocidos, planteando las inecuaciones que sean necesarias.

c. Aplicando las propiedades de las desigualdades resuelve las inecuaciones por separado.

d. Recuerda que la solución de un sistema de inecuaciones lineales corresponde a la intersección (S1 ∩ S2) de las soluciones y que  debe estar en el mismo contexto que el problema planteado.

 

Ejemplo 1:

Un profesor necesita saber el mayor número de alumnos que hay en la sala del 4° B, si al doble del número de éstos se disminuye en 7, el resultado es mayor que 29, y si al triple se disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del número aumentado en 16.

Para resolver este problema, ocupamos los pasos aprendidos;

a. Si lees cuidadosamente el problema, te darás cuenta que la incógnita en este caso es el número de alumnos que hay en la sala del 4° B. La cual llamaremos x.

b. Ahora que ya tenemos nuestra incógnita, podemos plantear las inecuaciones, analicemos el problema;

 

Sistema_inecuaciones_lineales_9.jpg (660×340)

 

Como puedes ver, fue muy sencillo, solo tienes que leer y escribir las inecuaciones paso a paso, según lo que plantea el problema.

 

c. Resolvemos el sistema de inecuaciones;

Sistema_inecuaciones_lineales_10.jpg (600×140)

 

- Primera inecuación;

 

Sistema_inecuaciones_lineales_11.jpg (600×200)

 

- Segunda inecuación;

Sistema_inecuaciones_lineales_12.jpg (600×200)

 

d. Si graficamos la solución S1 ∩ S2;

 

Sistema_inecuaciones_lineales_13.jpg (600×110)

 

Podemos ver que el número de alumnos será mayor que 18 y menor que 21. Por lo tanto, el intervalo no incluye los números 18 y 21.  Además, si seguimos el contexto del problema, sabemos que cuando hablamos de personas nos referimos a números naturales. Entonces, la respuesta es;

 

El mayor número de alumnos que hay en la sala del 4° B es 20.


 


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