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Inecuaciones lineales: Propiedades de las desigualdades
Cuarto medio - Actividad Nº 26

 
 
 
 
 
 
 
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 Inecuaciones lineales: Propiedades de las desigualdades
 
 

 
 
 
 
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1- Desigualdades

Las desigualdades son relaciones entre dos números o expresiones, tal que;

 

Propiedades_de_las_desigualdades_1.jpg (660×140)

 

En estas relaciones se utilizan los siguientes símbolos;

 

Propiedades_de_las_desigualdades_2.jpg (600×200)

 

Una desigualdad es una inecuación en la cual se descomponen 1 o más datos, teniendo así incógnitas dentro de ésta.

Ejemplo:

Propiedades_de_las_desigualdades_3.jpg (600×50)

Esta relación es una desigualdad de dos variables.

 

2- Propiedades de las desigualdades

Las desigualdades tienen las siguientes propiedades;

a. Transitividad de la desigualdad:

Si a, b y c son números reales se cumple que;

 

Propiedades_de_las_desigualdades_4.jpg (660×50)

 

Como puedes ver, se puede afirmar que si un número es menor que un segundo número, y el segundo es menor que un tercero, entonces el primero número es menor que el tercero.

En este sentido, si vemos los otros signos de una desigualdad, se cumple que;

Propiedades_de_las_desigualdades_5.jpg (600×180)

 

b. Suma o resta de una misma cantidad:

Si se suma o resta un mismo número real a ambos miembros de una desigualdad, resulta una desigualdad en el mismo sentido que la dada. Es decir;

Propiedades_de_las_desigualdades_6.jpg (600×170)

 

Ejemplo:

Si tenemos la desigualdad 3 < 5, y le sumamos o restamos 6;

 

Propiedades_de_las_desigualdades_7.jpg (600×100)

 

Se mantiene el mismo sentido.

 

c. Multiplicación o división por una misma cantidad POSITIVA:

Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número real POSITIVO, resulta una desigualdad en el MISMO SENTIDO que la dada. Es decir;

 

Propiedades_de_las_desigualdades_8.jpg (600×230)

 

Ejemplo:

Si tenemos la desigualdad 2 < 4, y la multiplicamos o dividimos por 8;

 

Propiedades_de_las_desigualdades_9.jpg (600×150)

Se mantiene el mismo sentido.

 

d. Multiplicación o división por una misma cantidad NEGATIVA:

Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número real NEGATIVO, resulta una desigualdad de DISTINTO SENTIDO que la dada. Es decir;

 

Propiedades_de_las_desigualdades_10.jpg (600×230)

 

Ejemplo:

Si tenemos la desigualdad 5 < 7, y la multiplicamos o dividimos por - 2;

 

Propiedades_de_las_desigualdades_11.jpg (600×220)

 

Cambia el sentido, con respecto a la desigualdad inicial.     

 

e. Exponente impar positivo:

Si se elevan ambos miembros de la desigualdad a un exponente impar positivo, resulta otra desigualdad en el mismo sentido a la dada.

Ejemplo:

Si tenemos la desigualdad 2 < 4 y la elevamos al cubo;

Propiedades_de_las_desigualdades_12.jpg (600×130)

 

Se mantiene el mismo sentido.

 

f. Exponente par positivo con términos positivos:

Si se tiene una desigualdad de términos positivos y elevan ambos miembros a un exponente par positivo, resulta otra desigualdad en el mismo sentido a la dada.

 

Ejemplo:

Si tenemos la desigualdad 6 > 3 y lo elevamos al cuadrado;

 

Propiedades_de_las_desigualdades_13.jpg (600×130)

 

Se mantiene el mismo sentido.

 

f. Exponente par positivo con términos negativos:

Si se tiene una desigualdad de términos negativos y elevan ambos miembros a un exponente par positivo, resulta otra desigualdad en sentido opuesto a la dada.

Ejemplo:

Si tenemos la desigualdad - 4 > - 2 y lo elevamos al cuadrado;

Propiedades_de_las_desigualdades_14.jpg (600×130)

Cambia en sentido opuesto.

 

h. Inverso multiplicativo:

Si se tiene una desigualdad en que ambos sean positivos o ambos negativos, y se calcula el inverso multiplicativo, resulta otra desigualdad en sentido opuesto a la dada.

Ejemplos:

Si tenemos la desigualdad 3 < 5, su inverso multiplicativo será;

Propiedades_de_las_desigualdades_15.jpg (600×150)

Resulta una desigualdad en el sentido opuesto.

Si tenemos la desigualdad - 2 < - 3, su inverso multiplicativo será;

 

Propiedades_de_las_desigualdades_16.jpg (600×150)

Resulta una desigualdad en el sentido opuesto.

 

Nota: El sentido de una desigualdad queda indeterminado si ambos miembros tienen signos contrarios y se elevan a un exponerte par.

 

 

 

 
 
 
 
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