Razones y proporciones


Actividad Nº 293



 

1- Razón

Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son  a y b, la razón entre ellas se escribe como:

 razón

Ejemplo:

En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?

La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de  "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "

 

El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.

 razón

 

El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón

  razón

Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.

 

1.1- Resolución de problemas:

Veamos cómo resolver problemas de razones:

Ejemplo 1:

La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.

Solución:

Si las edades son a y b

Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:

razon

Ahora volvemos a los datos del problema:

Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:

razon

 

Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X" . Por lo tanto :

razon

Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:

razon

 

Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :

razon

 

Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.

 

Ejemplo 2:

El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la razón entre las medidas de sus lados es 5: 3. Calcula el área del rectángulo.

Solución:

Siguiendo el procedimiento del problema anterior planteamos el problema en una ecuación. Sabemos que el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:

razon

Si expresamos las variables dadas en el problema:

razon

Ahora reemplazamos y resolvemos:

razon

 

Con este resultado reemplazamos :

razon

 

Ahora no nos debemos olvidar que nos están pidiendo el área del rectángulo. Sabemos que el área del rectángulos se calcula :

A = a • b

Por lo tanto la respuesta sería :

A = 40 • 24  = 960

Respuesta: El área del rectángulo es 960 cm2

 

Otra forma de resolver razones es siguiendo los siguientes pasos:

Ejemplo 3:
 
Si hay 33 vehículos entre automóviles y camionetas y la razón entre ellos es 4:7 ¿cuántos automóviles hay?
 
En este caso se está comparando la cantidad de automóviles con el de camionetas. Para conocer la cantidad de automóviles que hay podemos seguir los siguientes pasos:
1° se considera el total de vehículos: 33
2° Se divide 33 por la suma entre el numerador y el denominador de nuestra razón (4+7= 11). Con esto se obtienen 11 partes con 3 unidades cada una (ya que 33:11 = 3).
3° Se consideran 4 partes para los automóviles y 7 para las camionetas.
 

razones

Respuesta: Hay 12 automóviles

 

Ahora resuelve los siguientes problemas, siguiendo los pasos anteriores: (haz clic tres veces para comprobar tu respuesta)

a) Si la razón entre dos números es 2:3 y ambos suman 10 ¿Cuáles son los números?
RespuestaLos números son 4 y 6 
 
b) Martín tiene cinco fichas rojas por cada dos azules. Si tiene 21 fichas en total, entre rojas y azules, ¿Cuántas fichas tiene de cada color?  Respuesta: 6 azules y 15 rojas
 
c) A un taller de guitarra asisten 30 estudiantes. Si por cada 8 niñas hay 7 niños, ¿cuántos niños y niñas conforman el taller? Respuesta: En el taller de guitarra hay 14 niños y 16 niñas.


 

2- Proporciones

Una proporción es la igualdad de dos razones.

proporciones

 

2.1- Propiedad fundamental 

En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:

proporciones

 

Ejemplo:
Si tenemos la proporción: 
proporciones
 

Y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda:
 
 
3  • 20  =  4 • 15, es decir, 60 = 60
 
 
Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo son verdaderamente.
 
 
 
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- Propiedades de las proporciones

 

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- Proporciones directas e inversas


 


Creado por Portal Educativo. Fecha: 2009-01-03. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.


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Max