Relación de proporcionalidad directa e inversa


Actividad Nº 806

 

1- Proporción

Recordemos: Una proporción es la igualdad de dos razones.

 

proporciones

 

 

 

1.1- Propiedad fundamental 

En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:

 

proporciones

 

Ejemplo: Si tenemos la proporción: 

proporciones

y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda:   3  • 20  =  4 • 15, es decir, 60 = 60. 


Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo son verdaderamente.



 

2- Proporcionalidad directa

Dos variables (una independiente x y la otra dependiente y ) son directamente proporcionales si el cociente (división) entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante.

y / x = k

Además al aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o disminuye, respectivamente, en la misma razón.

Ejemplo:

- Indica si las variables son directamente proporcionales

a. La medida del lado de un cudrado y su perímetro:  
Respuesta , porque a mayor longitud de sus lados mayor perímetro. (si una variable aumenta la otra aumenta en la misma razón).

b. El número de trabajadores y los días que se demoran en hacer un trabajo, si todos trabajan de igual manera: Respuesta:  No, porque a mayor cantidad de trabajadores menos cantidad de días. (si una variable aumenta, la otra disminuye en la misma razón).

 

En el caso de las funciones esta proporcionalidad directa se puede representar como una función de la forma 

y = k x


Donde:
y : variable dependiente.
x: variable independiente.
k : constante de proporcionalidad.


Por ejemplo: si tenemos la siguiente función:

y = 3 x 


La constante de proporcionalidad sería 3.

 

2.1- ¿Cómo se calcula la constante de proporcionalidad?

Como  y = k x  entonces:  k = y / x

 

Calcula la constante de proporcionalidad:
 

x 3 6 7
y 6 12 14

 

k = 6 / 3
k = 2          
El cociente de las dos magnitudes es siempre el mismo (constante)


 

2.2- Gráfico de proporcionalidad directa

El gráfico correspondiente a una relación de proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el punto de origen de un sistema de coordenadas cartesianas.

En una función de prorcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra tambien aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra disminuye en un mismo factor.

Ejemplo:

Juan ha utilizado 20 huevos para hacer 4 tortillas iguales. ¿Cuántos huevos necesita para hacer 6 tortillas? ¿Y para hecer 2? 

Grafica los resultados hasta 6 tortillas.

 

proporcionalidad directa grafico

 

Como puedes ver, el gráfico es una línea recta que pasa por el origen. Además si nos fijamos en la tabla, nos podemos dar cuenta que el cociente (división)  entre las dos magnitudes (y / x) es constante. En este caso el valor de la constante de proporcionalidad es 5.
 


 

3- Proporcionalidad inversa

Dos variables (una independiente x y la otra dependiente y ) son inversamente proporcionales si el producto entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante.

( xy = k )

Además, en una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en un mismo factor.

Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma:

y = k / x

 

Donde:
y : variable dependiente.
x: variable independiente.
k : constante de proporcionalidad.

Ejemplos:

Indica si las variables son inversamente proporcionales.
 
a) El número de albañiles y el tiempo empleado en hacer el mismo edificio.
Respuesta: Son inversamente proporcionales, ya que con el doble, triple... número de albañiles se tardará la mitad, tercera parte  de tiempo en construir el mismo edificio.
 
b) La velocidad de un auto y el trayecto recorrido en el mismo tiempo.
Respuesta: No es inversa ya que a tiempo constante, con el doble o el triple... de la velocidad, el auto recorrerá el doble, triple... de espacio.
 
c) La velocidad de un auto y el tiempo empleado en recorrrer el mismo trayecto.
Respuesta: Son inversamente proporcionales, ya que, a espacio constante, con el doble, triple... velocidad, el auto tardará la mitad, tercera parte... de tiempo en recorrerlo.

 

2.2- Gráfico de proporcionalidad inversa
La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una curva, llamada hipérbola.

proporcionalidad inversa grafico

 

 

Resumen: Observa el siguiente cuadro comparativo:

 
Funciones proporcionalidad directa inversa
 
 
 
 
Preguntas:
 
1) Si 5 m de género valen $8500, ¿cuánto valen 8 m? R: valen $13600
 
2) Veinte alumnos hicieron una excursión y consumieron 15 botellas de jugo. ¿Cuántas botellas de jugo se habrían consumido, si hubieran ido los 50 alumnos del curso? R: 38 botellas
 
3) A cierta hora de un día asoleado, una persona, de 1,75 m de altura, proyecta una sombra de 1,25 m de longitud. Calcula la altura de un árbol del lugar que, en el mismo momento, tiene una sombra de 12 m de largo. R: 16,8 metros
 
4) Una piscina con un largo de 12cm y un ancho de 4cm., dibujada en un plano. Si en la realidad el largo es 36m, ¿cuál es el ancho? R: 12 metros
 
5) Rosa pesa 48 kilos y José pesa 52 kilos. Dividir una barra de chocolate de 200 gramos en la misma razón que sus pesos. R:96 y 104 gramos
 
6) Con el dinero que tengo, puedo comprar 20 chocolates a $ 20 cada uno. Si los chocolates suben a $ 25, ¿cuántos podré comprar? R: puede comprar 16 chocolates
 
7) Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 60 horas, ¿cuántas horas emplearán 42 telares iguales en producir la misma cantidad de tela? R:35 horas, 42 minutos y 52 segundos
 
8) Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene 12 dientes y la segunda 28. ¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda, cuando la primera ha dado 84 vueltas? R: 36 vueltas
 
 
 
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Razones y proporciones, ejercicios
- Relaciones proporcionales
 


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