Teorema de Thales


Actividad Nº 39



 

1- Thales de Mileto

Thales (o Tales) nació hacia el 625 a. C. en Mileto, una de las primeras ciudades fundadas por los griegos a orillas del mar Egeo, la cual en esa época era una de las más ricas y evolucionadas de esa zona. Actualmente pertenece a Turquia.

Thales era considerado como uno de los siete sabios de Grecia, estudioso y solitario, se destacó en las áreas del comercio, filosofía, astronomía y matemáticas. Sus reflexiones trataban sobre la naturaleza y el origen del mundo físico, preguntas como ¿De dónde venían todas las cosas? ¿De qué estaban hechas? ¿Existía algo que pudiera reducir a unidad el variado espectáculo del cosmos?, sus preguntas representaban el esfuerzo por ir más allá de las apariencias hasta descubrir la verdadera naturaleza de las cosas y su primer origen; lo que los griegos le llamaron el arjé. Siempre sus respuestas trataba de apoyarlas en la razón y fundamentarlas.

 

1.1- Origen del teorema de Thales

Hay muchas versiones de cómo sucedió la historia, aquí te contamos una de ellas; lo que hoy conocemos como el teorema de thales, se origina cuando Thales viajó a Egipto para aprender matemáticas, hacia el año 600 a. C., se dice que estando allí, inventó un procedimiento para calcular la altura de las pirámide Keops por semejanza, esto lo pudo hacer midiendo la sombra de esta y la de su bastón. La proporcionalidad entre la altura de la pirámide y la del bastón, hacían posible calcular la altura deseada.

 

Teorema_de_thales_1.jpg (600×580)

 

Para hacer este cálculo, supuso que los rayos del sol incidían paralelamente en la tierra, entonces la sombra que generaba la pirámide y su altura  forman un triángulo rectángulo, y la sombra del bastón con su altura otro. Estos dos triángulos rectángulos son semejantes, por lo tanto pudo establecer la siguiente proporción para obtener la altura;

 

Teorema_de_thales_2.jpg (660×520)

 

Teorema_de_thales_3.jpg (600×100)

 

dato_max.jpg (660×138)

Proporción es la igualdad de dos razones. Entonces, diremos que cuatro trazos son proporcionales si las razones entre ellos son iguales.

 

Ejemplo;

Sean 4 trazos;

 

Teorema_de_thales_4.jpg (660×50)

 

Donde;

Teorema_de_thales_5.jpg (600×120)

 

Entonces diremos que;

Teorema_de_thales_6.jpg (600×120)

 

Es decir, son 4 trazos proporcionales.

 

2- Teorema particular de Thales o fundamental de la semejanza.

A raíz del concepto de semejanza basado en las proporciones entre la pirámide y su bastón, surge el “teorema fundamental de la semejanza entre triángulos”, o también conocido como “teorema particular de Thales.”

Este teorema trata sobre los segmentos proporcionales que son determinados por dos paralelas.

 

a. Primer enunciado:

Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, los segmentos de los lados del ángulo determinados por las paralelas son proporcionales.

 

Teorema_de_thales_7.jpg (600×580)

 

Ejemplo: Si las rectas BC y DE son paralelas, determina el valor de x para la siguiente figura;

 

Teorema_de_thales_8.jpg (600×350)

 

Aplicamos el teorema;

 

Teorema_de_thales_9.jpg (600×360)

 

Respuesta: La recta AB (x) mide 16.

 

b. Segundo enunciado:

Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, los segmentos que se forman desde el vértice a los puntos de intersección de las paralelas son proporcionales entre sí. 

 

Teorema_de_thales_10.jpg (600×580)

 

Ejemplo: 

Si BC // DE y AD = 16, AE = 24 y AB = 2, determina el valor de la recta AC en la siguiente figura;

 

Teorema_de_thales_11.jpg (600×350)

 

Aplicamos el teorema;

 

Teorema_de_thales_12.jpg (600×340)

 

Respuesta: La recta AC mide 3.

 

c. Tercer enunciado:

Al cortar los lados  de un ángulo cualquiera por dos paralelas, éstas son entre sí como los segmentos medios desde el vértice a las paralelas. 

 

Teorema_de_thales_13.jpg (600×580)

 

Ejemplo: Determina el valor de x para que L1 y L2 sean paralelas;

 

Teorema_de_thales_14.jpg (600×470)

 

Hay ejercicios como este, que pueden parecer más difíciles, ya que el vértice y las intersecciones con las paralelas no tienen letras, pero si lees el enunciado del teorema, te darás cuenta que es igual de sencillo, observa;

Para determinar el valor de x suponemos que L1 y L2 son paralelas que cortan los lados del ángulo, entonces, definiremos los segmentos en L3 desde el vértice a las paralelas (que es donde están los datos).

Teorema_de_thales_15.jpg (660×90)

 

Ahora escribimos la proporción, según el teorema; 

 

Teorema_de_thales_16.jpg (600×360)

 

Respuesta: El valor de x es 10.

 

- Este mismo teorema se aplica a paralelas que cortan las extensiones de los lados más allá del vértice, donde podemos aplicar la siguiente proporción;

 

Teorema_de_thales_17.jpg (600×700)

 

 

Ejemplo:

Si L1 // L2 // L3 determina la medida de a.

 

Teorema_de_thales_18.jpg (600×400)

 

Para resolver este ejercicio, debemos aplicar el teorema de Thales en dos ocasiones y luego restar, para lo cual definiremos como x e y, los segmentos que vamos a calcular;

 

Teorema_de_thales_19.jpg (600×400)

 

Escribimos las proporciones según el teorema y calculamos;

 

Teorema_de_thales_20.jpg (600×310)

 

Ahora restamos para obtener la medida de a.

 

Teorema_de_thales_21.jpg (600×200)

Respuesta: La medida de a es 3.

 

3- Teorema General de Thales

Al cortar dos o más rectas por tres o más paralelas, los segmentos determinados sobre las rectas son proporcionales entre sí.

Teorema_de_thales_22.jpg (600×550)

 

 

Del teorema general de Thales, se pueden obtener también las siguientes proporciones;

 

Teorema_de_thales_23.jpg (600×420)

 

Ejemplo:

Si L1 // L2 // L3, calcula a y b, si se sabe que a + b = 15

 

Teorema_de_thales_24.jpg (600×400)

 

Establecemos la proporción para calcular b;

 

Teorema_de_thales_25.jpg (600×350)

Ahora como a + b = 15, reemplazamos b y obtenemos el valor de a;

Teorema_de_thales_26.jpg (600×220)

 

Respuesta: a = 3 y b = 12.

 

4 - Teorema recíproco de Thales.

Si dos o más rectas determinan segmentos proporcionales sobre dos transversales, entonces las rectas son paralelas entre sí. Es decir, es el inverso a los teoremas de Thales.

Ejemplos;

Teorema_de_thales_27.jpg (660×640)

 

El teorema recíproco se cumple para todos los teoremas de Thales.

 

Dato: Recuerda que las aplicaciones del tema de Thales, nos sirven para resolver problemas de la vida cotidiana, especialmente para distancias inaccesibles, o que son muy difíciles de medir.

 

Ejemplo:

Nicolás mide 1,50 m. de altura, se encuentra a 1,20 m. de un poste que tiene encendida su luminaria a 3 m. del suelo, ¿cuál es el largo de la sombra que proyecta Nicolás?

 

Teorema_de_thales_28.jpg (600×400)

 

Aplicamos el teorema de Thales;

 

Teorema_de_thales_29.jpg (600×860)

 

Respuesta: El largo de la sombra que proyecta Nicolás es de 1,20 m.

 

links.jpg (221×50)

- Aplicaciones del teorema de Thales


 


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