1- Aplicaciones de los teoremas de Thales
Aplicando los teoremas de Thales sobre segmentos, podemos realizar los siguientes procedimientos; dividir un segmento en n partes iguales, construir la cuarta proporcional geométrica de tres segmentos dados y dividir interior, exterior y armónicamente un segmento.
El procedimiento en general para aplicar los teoremas de thales, es encontrar segmentos proporcionales, obtenidos mediante paralelas que cortan al segmento dado y a otra transversal que construiremos en cada caso.
A continuación, veremos detalladamente cada una de estas aplicaciones.
1.1- División de un segmento en n partes iguales:
Para dividir un segmento AB en n partes iguales, puedes seguir los siguientes pasos;
Paso 1: Dibuja una recta L formando un ángulo con respecto a la recta AB.
Paso 2: Sobre la recta L marca las n partes iguales (según lo solicitado) de un tamaño a (tu defines el tamaño de a), el último punto lo llamaremos C.
Por ejemplo, dividiremos el segmento AB en 9 partes iguales, de un tamaño a que definiremos a continuación;
Paso 3: Une los puntos B y C con una línea.
Paso 4: Traza en cada punto marcado en L una paralela a BC hasta cortar el segmento AB.
De este modo el segmento AB queda dividido en 9 partes iguales.
1.2- Construcción de la cuarta proporcional geométrica de tres segmentos dados:
Para encontrar el segmento que sea cuarta proporcional geométrica entre los segmentos dados a, b y c, puedes seguir los siguientes pasos;
Paso 1: Dibuja un ángulo cualquiera. En uno de sus lados copia seguidos los segmentos a y b, marca los puntos A y B.
Paso 2: En el otro lado del ángulo copia el segmento c, y marca el punto C.
Paso 3: Une A con C.
Paso 4: Dibuja una paralela a AC desde el punto B y marca el punto D al otro lado del ángulo
Entonces, el segmento CD (x) es la cuarta proporcional geométrica entre a, b y c.
1.3- División interior de un segmento:
Dividir interiormente un segmento AB en la razón m : n, es encontrar dentro del segmento un punto E. Tal que;
Existen dos métodos para dividir interiormente un segmento;
a. Primer método:
Para dividir interiormente un segmento AB en la razón m : n, primero debes definir una unidad de medida (cualquiera) para m y n. Por ejemplo dividiremos el segmento AB interiormente en razón 4 : 2.
Luego puedes seguir los siguientes pasos;
Paso 1: Dibuja una recta L desde el punto A, formando un ángulo con respecto a la recta AB.
Paso 2: Sobre la recta AL desde el punto A, copia el segmento m (en este caso es 4) y marca el punto C, luego desde el punto C, copia el segmento n (en este caso es 2), y marca el punto D.
Paso 3: Une el punto D con B, y luego traza una paralela a DB desde el punto C, y marca el punto E, que corta el segmento AB.
Entonces, el punto E divide al segmento AB en la razón m : n, en este caso 4 : 2.
Puedes comprobar la proporción encontrada aplicando el teorema de Thales;
Ejemplo:
Si un segmento mide 75 cm, se divide en 3 segmentos d, e y f, que están en razón
3 : 5 : 7, dibuja y calcula la medida de cada segmento.
Dibujamos el segmento de 75 cm el cual llamaremos AB y definimos la unidad de medida (cualquiera) para realizar la razón 3 : 5 : 7.
En este caso como el segmento está dividido en 3, se realizan los pasos que explicamos anteriormente, salvo que en la recta L se copia en orden la razón 3 : 5 : 7, observa;
Para calcular los segmentos d, e y f que están en razón 3 : 5 : 7, diremos que, según la proporción, d = 3x, e = 5x y f = 7x.
Ahora calculamos:
b. Segundo Método:
Otro método para dividir interiormente un segmento AB en razón m : n es;
Paso 1: Trazar los segmentos m y n en forma paralela, m desde el punto A y n desde el punto B, formando un ángulo con respecto al segmento AB, cada segmento se dibuja en sentidos opuestos con respecto a AB.
Paso 2: Une los extremos de m y n que definimos como C y D, formando el segmento CD, el cual corta a AB en el punto E.
Entonces, el punto E divide al segmento AB en la razón m : n. Este método solo sirve para dividir un segmento interiormente en 2 trazos.
Ejemplo:
Divide interiormente en forma geométrica el segmento OP = 20 cm. en razón 3 : 2. Calcula la medida de los dos segmentos obtenidos.
Dibujamos el trazo OP y definimos la unidad de medida (cualquiera) para realizar la razón 3 : 2.
Realizamos los paso 1 y 2 explicados anteriormente y obtenemos;
Entonces, el punto H divide al segmento OP en la razón 3 : 2.
Ahora, para calcular los dos segmentos obtenidos, como OH : HP = 3 : 2, diremos que
OH = 3 x y HP = 2 x. Como;
1.4- División exterior de un segmento:
Dividir exteriormente un segmento AB en la razón m : n, es encontrar en el exterior del segmento (en su prolongación) un punto O, de manera que los segmentos medidos desde dicho punto a los extremos del trazo estén en la razón dada.
Existen dos métodos para dividir exteriormente un segmento;
a. Primer método:
Para dividir exteriormente un segmento AB en la razón m : n, primero debes definir una unidad de medida (cualquiera) para m y n. Por ejemplo dividiremos el segmento AB exteriormente en razón 5 : 2.
Paso 1: Dibuja una recta L desde el punto A, formando un ángulo con respecto a la recta AB.
Paso 2: Sobre la recta AL desde el punto A, copia el segmento m (5 veces) y marca el punto C.
Paso 3: Sobre la recta CA, desde el punto C, copia el segmento n (2 veces), y marca el punto F.
Paso 4: Une el punto F con B, y luego traza una paralela a FB desde el punto C, y marca el punto O, que corta a la prolongación del segmento AB.
Entonces, el punto O divide al segmento AB exteriormente en la razón m : n, en este caso en razón 5 : 2.
b. Segundo Método:
Otro método para dividir exteriormente un segmento AB en razón m : n, es el siguiente;
Al igual que en el método anterior dividiremos el segmento en razón 5 : 2.
Paso 1: Trazar los segmentos m y n en forma paralela, m desde el punto A y n desde el punto B, formando un ángulo (cualquiera) con respecto al segmento AB, cada segmento se dibuja en el mismo sentido con respecto a AB.
Paso 2: Une los extremos de m y n que definimos como C y F, la cual se extiende hasta cortar la prolongación de AB, en el punto O.
Entonces, el punto O divide al segmento AB exteriormente en razón m : n. En este caso en razón 5 : 2.
Puedes comprobar la proporción encontrada aplicando el teorema de Thales;
1.4- División armónica de un segmento
La división armónica de un segmento se refiere a dividirlo interior y exteriormente en una misma razón, m : n. Interiormente encontramos el punto E y exteriormente el punto O, en el mismo ejercicio.
Para dividir armónicamente un segmento deberás aplicar los métodos que aprendiste para la división interior y exterior al mismo tiempo, observa;
a. Primer método:
Para dividir armónicamente un segmento AB en la razón m : n, primero debes definir una unidad de medida (cualquiera) para m y n. Por ejemplo dividiremos el segmento AB armónicamente en razón 6 : 1.
Paso 1: Dibuja una recta L desde el punto A, formando un ángulo con respecto a la recta AB. Sobre la recta AL desde el punto A, copia el segmento m = 6 y marca el punto C.
Paso 2: Para marcar el punto que divide interiormente, desde el punto C, copia seguido el segmento n (en este caso es 1 vez), y marca el punto D. Une el punto D con B, y luego traza una paralela a DB desde el punto C, y marca el punto E, que corta el segmento AB.
Paso 3: Para marcar el punto que divide exteriormente, desde el punto C, sobre CA copia el segmento n (en este caso es 1 vez), y marca el punto F. Une el punto F con B, y luego traza una paralela a FB desde el punto C, y marca el punto O, que corta a la prolongación de AB.
Entonces, E y O son puntos armónicos, o sea, AE : EB = AO : BO = m : n.
b. Segundo Método:
Si tomamos el segundo método para dividir armónicamente un segmento AB en razón m : n, puedes seguir los siguientes pasos;
Al igual que en el método anterior dividiremos el segmento en razón 6 : 1.
Paso 1: Para marcar el punto que divide interiormente, trazar los segmentos m y n en forma paralela, m desde el punto A y n desde el punto B, formando un ángulo (cualquiera) con respecto al segmento AB, el segmento m se dibuja hacia abajo y el segmento n hacia arriba. Une los extremos de m y n que definimos como C y D, formando el segmento CD, el cual corta a AB en el punto E.
Paso 2: Ahora, para marcar el punto que divide exteriormente al segmento AB, copia n desde el punto B hacia abajo, une C con F, y extiende la recta CF hasta cortar la prolongación de AB, en el punto O.
Entonces, E y O son puntos armónicos, o sea, AE : EB = AO : BO = m : n.
