1- Aplicaciones de los teoremas de Thales

Aplicando los teoremas de Thales sobre segmentos, podemos realizar los siguientes procedimientos; dividir un segmento en n partes iguales, construir la cuarta proporcional geométrica de tres segmentos dados y dividir interior,  exterior y armónicamente un segmento.

El procedimiento en general para aplicar los teoremas de thales, es encontrar segmentos proporcionales, obtenidos mediante paralelas que cortan al segmento dado y a otra transversal que construiremos en cada caso.

A continuación, veremos detalladamente cada una de estas aplicaciones.

1.1- División de un segmento en n partes iguales:

Para dividir un segmento  AB en n partes iguales, puedes seguir los siguientes pasos;

Paso 1: Dibuja una recta L formando un ángulo con respecto a la recta AB.

Paso 2: Sobre la recta L marca las n partes iguales (según lo solicitado) de un tamaño a (tu defines el tamaño de a), el último punto lo llamaremos C.

Por ejemplo, dividiremos el segmento AB en 9 partes iguales, de un tamaño a que definiremos a continuación;

Paso 3: Une los puntos B y C con una línea.

Paso 4: Traza en cada punto marcado en L una paralela a BC hasta cortar el segmento AB.

De este modo el segmento AB queda dividido en 9 partes iguales. 

1.2- Construcción de la cuarta proporcional geométrica de tres segmentos dados:

Para encontrar el segmento que sea cuarta proporcional geométrica entre los segmentos dados a, b y c, puedes seguir los siguientes pasos; 

Paso 1: Dibuja un ángulo cualquiera. En uno de sus lados copia seguidos los segmentos a y b, marca los puntos A y B.

Paso 2: En el otro lado del ángulo copia el segmento c, y marca el punto C.

Paso 3: Une A con C. 

Paso 4: Dibuja una paralela a AC desde el punto B y  marca el punto D al otro lado del ángulo

Entonces, el segmento CD (x) es la cuarta proporcional geométrica entre a, b y c.

1.3- División interior de un segmento:

Dividir interiormente un segmento AB en la razón m : n, es encontrar dentro del segmento un punto E. Tal que;

Existen dos métodos para dividir interiormente un segmento;

a. Primer método:

Para dividir interiormente un segmento AB en la razón m : n, primero debes definir una unidad de medida (cualquiera) para m y n. Por ejemplo dividiremos el segmento AB interiormente en razón 4 : 2.

Luego puedes seguir los siguientes pasos;

Paso 1: Dibuja una recta L desde el punto A, formando un ángulo con respecto a la recta AB.

Paso 2: Sobre la recta AL desde el punto A, copia el segmento m (en este caso es 4) y marca el punto C, luego desde el punto C, copia el segmento n (en este caso es 2), y marca el punto D.

Paso 3: Une el punto D con B, y luego traza una paralela a DB desde el punto C, y marca el punto E, que corta el segmento AB.

Entonces, el punto E divide al segmento AB en la razón m : n, en este caso 4 : 2.

Puedes comprobar la proporción encontrada aplicando el teorema de Thales;

Ejemplo:

Si un segmento mide 75 cm, se divide en 3 segmentos d, e y f, que están en razón

3 : 5 : 7, dibuja y calcula la medida de cada segmento.

Dibujamos el segmento de 75 cm el cual llamaremos AB y definimos la unidad de medida (cualquiera) para realizar la razón 3 : 5 : 7.

En este caso como el segmento está dividido en 3, se realizan los pasos que explicamos anteriormente,  salvo que en la recta L se copia en orden  la razón 3 : 5 : 7, observa;

Para calcular los segmentos d, e y f que están en razón 3 : 5 : 7, diremos que, según la proporción, d = 3x, e = 5x y f = 7x.

Ahora calculamos:

b. Segundo Método:

Otro método para dividir interiormente un segmento AB en razón m : n es;

 Paso 1: Trazar los segmentos m y n en forma paralela, m desde el punto A y n desde el punto B, formando un ángulo con respecto al segmento AB, cada segmento se dibuja en sentidos opuestos con respecto a AB.

Paso 2: Une los extremos de m y n que definimos como C y D, formando el segmento CD, el cual corta a AB en el punto E.

Entonces, el punto E divide al segmento AB en la razón m : n. Este método solo sirve para dividir un segmento interiormente en 2 trazos. 

Ejemplo:

Divide interiormente en forma geométrica el segmento OP = 20 cm. en razón 3 : 2. Calcula la medida de los dos segmentos obtenidos.

Dibujamos el trazo OP y definimos la unidad de medida (cualquiera) para realizar la razón 3 : 2. 

Realizamos los paso 1 y 2 explicados anteriormente y obtenemos; 

Entonces, el punto H divide al segmento OP en la razón 3 : 2.

Ahora, para calcular los dos segmentos obtenidos, como OH : HP = 3 : 2, diremos que

OH = 3 x y HP = 2 x. Como;

1.4- División exterior de un segmento:

Dividir exteriormente un segmento AB en la razón m : n, es encontrar en el exterior del segmento (en su prolongación) un punto O, de manera que los segmentos medidos desde dicho punto a los extremos del trazo estén en la razón dada.

Existen dos métodos para dividir exteriormente un segmento;

a. Primer método:

Para dividir exteriormente un segmento AB en la razón m : n, primero debes definir una unidad de medida (cualquiera) para m y n. Por ejemplo dividiremos el segmento AB exteriormente en razón 5 : 2.

Paso 1: Dibuja una recta L desde el punto A, formando un ángulo con respecto a la recta AB.

Paso 2: Sobre la recta AL desde el punto A, copia el segmento m (5 veces) y marca el punto C.

Paso 3: Sobre la recta CA, desde el punto C, copia el segmento n (2 veces), y marca el punto F.

Paso 4: Une el punto F con B, y luego traza una paralela a FB desde el punto C, y marca el punto O, que corta a la prolongación del segmento AB.

Entonces, el punto O divide al segmento AB exteriormente en la razón m : n, en este caso en razón 5 : 2.

b. Segundo Método:

Otro método para dividir exteriormente un segmento AB en razón m : n, es el siguiente;

Al igual que en el método anterior dividiremos el segmento en razón 5 : 2.

 Paso 1: Trazar los segmentos m y n en forma paralela, m desde el punto A y n desde el punto B, formando un ángulo (cualquiera) con respecto al segmento AB,  cada segmento se dibuja en el mismo sentido con respecto a AB.

Paso 2: Une los extremos de m y n que definimos como C y F, la cual se extiende hasta cortar la prolongación de AB, en el punto O.

Entonces, el punto O divide al segmento AB exteriormente en razón m : n. En este caso en razón 5 : 2.

Puedes comprobar la proporción encontrada aplicando el teorema de Thales;

1.4- División armónica de un segmento

La división armónica de un segmento se refiere a dividirlo interior y exteriormente en una misma razón,  m : n. Interiormente encontramos el punto E y exteriormente el punto O, en el mismo ejercicio.

Para dividir armónicamente un segmento deberás aplicar los métodos que aprendiste para la división interior y exterior al mismo tiempo, observa;

a. Primer método:

Para dividir armónicamente un segmento AB en la razón m : n, primero debes definir una unidad de medida (cualquiera) para m y n. Por ejemplo dividiremos el segmento AB armónicamente en razón 6 : 1.

Paso 1: Dibuja una recta L desde el punto A, formando un ángulo con respecto a la recta AB. Sobre la recta AL desde el punto A, copia el segmento m = 6 y marca el punto C.

Paso 2: Para marcar el punto que divide interiormente, desde el punto C, copia seguido el segmento n (en este caso es 1 vez), y marca el punto D. Une el punto D con B, y luego traza una paralela a DB desde el punto C, y marca el punto E, que corta el segmento AB.

Paso 3: Para marcar el punto que divide exteriormente, desde el punto C, sobre CA copia el segmento n (en este caso es 1 vez), y marca el punto F. Une el punto F con B, y luego traza una paralela a FB desde el punto C, y marca el punto O, que corta a la prolongación de AB.

Entonces, E y O son puntos armónicos, o sea, AE : EB = AO : BO = m : n.

b. Segundo Método:

Si tomamos el segundo método para dividir armónicamente un segmento AB en razón m : n, puedes seguir los siguientes pasos;

Al igual que en el método anterior dividiremos el segmento en razón 6 : 1.

Paso 1: Para marcar el punto que divide interiormente,  trazar los segmentos m y n en forma paralela, m desde el punto A y n desde el punto B, formando un ángulo (cualquiera) con respecto al segmento AB,  el segmento m se dibuja hacia abajo y el segmento n hacia arriba. Une los extremos de m y n que definimos como C y D, formando el segmento CD, el cual corta a AB en el punto E.

Paso 2: Ahora, para marcar el punto que divide exteriormente al segmento AB, copia n desde el punto B hacia abajo, une C con F, y extiende la recta CF hasta cortar la prolongación de AB, en el punto O.

Entonces, E y O son puntos armónicos, o sea, AE : EB = AO : BO = m : n.