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¿Qué es una función?


Actividad Nº 4



 

1- Funciones

Las funciones en matemáticas, nos sirven para modelar diversas relaciones entre distintos fenómenos o situaciones, que suceden en nuestra vida cotidiana,  que tienen una causa y efecto, por ejemplo, la cantidad de kilómetros por hora recorridos por un vehículo depende de la velocidad, que el área de un cuadrado depende de la longitud de su lado, o que el costo de la producción está en función al valor de los materiales utilizados.

 

1.1- Conceptos básicos de una función

Una función es una relación entre dos magnitudes o cantidades, por ejemplo x y f(x), de manera que a cada valor de la primera magnitud llamada preimagen, le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.

La primera magnitud o preimagen se dirá que es la variable independiente y a la segunda magnitud o imagen (que se deduce de la primera) se dirá que es la variable dependiente. Por ejemplo, si la variable independiente es x, la variable dependiente será f (x), que se lee “f de x”, la cual generalmente se designa con la letra y. Entonces, se dirá que y es función de x, o que y depende de x.

Al conjunto inicial o de partida donde están las preimágenes se le llama dominio que se abrevia Dom (f) y al conjunto final o de llegada donde están las imágenes se llama codominio que se abrevia Codom (f).

Al conjunto de todas las imágenes de una función se le llama recorrido (o rango) y se abrevia Rec (f). El recorrido es un subconjunto del conjunto de llegada codominio, donde puede suceder que el recorrido sea un conjunto más pequeño que el codominio o que el recorrido coincida exactamente con el codominio.

Por ejemplo, para una función f  de un conjunto A en un conjunto B, la podemos representar matemáticamente de la siguiente forma;

Funciones_1.jpg (600×490)

 

Aquí podemos ver como f (a) representa la transformación del elemento a por la función f lo que da como resultado el elemento b. Se dirá que a es la preimagen de b, o al revés, b o f(a) es la imagen de a al ser procesada por f.

En resumen,

Definición: Dos conjuntos no vacíos, A y B, están relacionados matemáticamente como una función f de A en B, si y sólo si a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B.

 

- El dominio de f es todo el conjunto A. Dom (f) = A.

- El recorrido de f es un subconjunto de B. Que puede coincidir o no con el codominio.

- El codominio es todo el conjunto B.

- Un elemento del conjunto A no puede tener dos imágenes diferentes en B.

- Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

 

Para entender más los conceptos explicados anteriormente, veremos algunos ejemplos;

Ejemplo 1.

Sea la relación f, definida por el diagrama

funciones_2.jpg (660×930)

 

Podemos ver que para cada elemento de A, existe una sola imagen en B, por lo tanto, el diagrama sagital corresponde a una función f, pero el recorrido es más pequeño que el codominio. Donde;

 

- El dominio de f  es; Dom (f) = A = {a, b, c}

- El Codominio de f es; Codom (f) = B = {1, 2, 3, 4, 5}

- El recorrido (o rango) es; Rec (f) = {1, 2, 3}

 

Entonces, los elementos {4,5} no son imagen de ninguna preimagen en A, es decir, no pertenecen al recorrido.

 

Ejemplo 2;

Sea g la relación, definida por el diagrama

 

funciones_3.jpg (600×590)

 

En este ejemplo, podemos ver que para cada elemento de A, existe una sola imagen en B, por lo tanto, el diagrama sagital corresponde a una función f, y  a diferencia del primer ejemplo, el recorrido coincide con el codominio, donde;

 

- El dominio de f  es; Dom (f) = A = {a, b, c, d}

- El Codominio de f es; Codom (f) = B = {1, 2, 3, 4}

- El recorrido (o rango) es; Rec (f) = B = {1, 2, 3, 4}

 

Entonces, todos los elementos del conjunto B de llegada tienen una preimagen en A.

 

Ejemplo 3;

Sea h la relación, definida por el diagrama; 

 

funciones_4.jpg (660×630)

 

Este diagrama no representa una función f, ya que el elemento b del conjunto de partida A, no tiene una imagen en el conjunto B de llegada.

 

Ejemplo 4;

Sea la relación, definida por el diagrama;

funciones_5.jpg (660×630)

 

El diagrama de esta relación tampoco representa una función f, ya que el elemento a del conjunto de partida A, tiene dos imágenes en el conjunto B de llegada.

 

 

2- Representación gráfica de una función

Una función f se puede representar de diferentes maneras entre las cuales está el diagrama sagital y el sistema de coordenadas o cartesiano.

 

2.1- Diagrama Sagital.

Un diagrama llamado sagital, es la representación de dos conjuntos, por ejemplo, A y B que relacionan con flechas cada elemento de A (preimagen), con su respectiva imagen en B. Se indica en la parte superior la relación de A en B con una flecha curva.

 

Ejemplo,

Sea una función f  definida por;  f = {(a,1), (b,2), (c,3), (d,4)}

funciones_6.jpg (600×570)

 

 

2.2- Sistema de coordenadas o cartesiano.

Las ecuaciones dadas para determinar una función, siempre tendrán dos incógnitas. Donde x será la variable independiente (preimágen) e y será la variable dependiente (imagen), por lo tanto, f (x) = y. Entonces, para obtener los puntos reemplazamos los valores de x en la función y resolvemos. Es útil anotar estos datos en una tabla con los valores para x e y.

Para representar una función en el sistema de coordenadas, consideramos los elementos del dominio (conjunto de las preimágenes) en el eje horizontal de las abscisas (eje x) y los elementos del recorrido (imágenes) en el eje vertical de las ordenadas (eje y).

Se marcan los puntos correspondientes a cada relación, (x, y) y se unen con una línea continua, así obtenemos la representación gráfica de la función en el sistema de coordenadas.

Ejemplo,

Representar en el sistema cartesiano una función real f, donde f (x) = x + 1.

Si reemplazamos los valores de x en la función;

- f (1) = 1 + 1 = 2

- f (2) = 2 + 1 = 3

- f (3) = 3 + 1 = 4

- f (- 1) = - 1 + 1 = 0

- f (- 2) = - 2 + 1 = - 1

- etc.

Obtuvimos las coordenadas (1,2) (2,3) (3,4) (-1,0) (-2,-1). Estos son sólo algunos de los puntos que se pueden obtener reemplazando los valores en la función, ya que, los puntos a esta función son ilimitados para los números reales. 

 

funciones_7.jpg (600×620)

Podemos ver que es una función lineal.

A través del sistema de coordenadas puedes determinar si una gráfico es o no una función, ya que si lo analizas puedes ver los valores que toma x e y.

Ejemplo,

Indica si este gráfico representa una función de x en y. 

funciones_8.jpg (600×460)

 

Este gráfico NO es una función, ya que a un mismo valor de x le corresponden dos imágenes en y.

 

3- ¿Cómo encontrar el dominio y el recorrido de una función real?

3.1- A partir de su representación gráfica

Para encontrar el dominio y el recorrido  a partir de la representación gráfica de una función, deberás fijarte en la proyección de esta sobre el eje de coordenadas. Como ya sabes, los valores del dominio se expresan en eje de las abscisas (eje x), y el recorrido en el eje de las ordenadas (eje y).

 

Ejemplo,

Determina el dominio y el recorrido de la función a partir de su gráfica.

funciones_9.jpg (600×460)

Podemos observar que todos los valores de la variable independiente x, son todos los números reales entre el – 4 y el 3, y los valores que toma la variable independiente y son los números reales entre el -2 y 4.

Entonces,

- El dominio de f  corresponde a; Dom (f) = intervalo [-4, 3]

- El recorrido corresponde a; Rec (f) = intervalo [-2, 4]

 

3.2- A partir de su representación algebraica

A partir de una representación algebraica puedes encontrar el dominio y recorrido de una función real, fijándote en los valores que pueden o no tomar las incógnitas x e y, respectivamente. Estos valores tienen que cumplir que; al ser reemplazados en la función, ésta no sea indeterminada, es decir, que la función sea real. Entonces, la función serán todos los números reales menos aquellos valores donde se indetermina.

Para determinar el dominio y recorrido de una función, te debes fijar en los siguientes casos;

 

a) Cuando la incógnita x está en el denominador de la ecuación.

Para encontrar el dominio de la función en estos casos, debes recordar que cuando un número está dividido por cero, es un número indefinido, por lo tanto, el valor de la incógnita x no puede dar como resultado que el denominador sea 0.

Para determinar el recorrido de una función real, debes hallar el dominio de su función inversa f -1 (x), para esto tenemos que despejar x, recordando que f (x) = y.

 

Ejemplo:

Determina el dominio y recorrido de la función real f (x) = funciones_10.jpg (90×70)

Para determinar su dominio, igualamos a cero la el denominador x – 3. El resultado será el valor que no sirve para la función;

funciones_11.jpg (600×50)

Entonces, el dominio de la función es el conjunto de los números reales menos el 3, ya que, si reemplazamos la x con el número 3 la función sería indeterminada, es decir, no estaría dentro de los números reales. Se escribe matemáticamente;

funciones_12.jpg (600×60)

 

Para determinar el recorrido, despejamos f (x) = y. 

 

funciones_13.jpg (600×850)

Entonces y no puede ser cero; El recorrido de la función serían todos los números reales menos el 0;

funciones_14.jpg (600×60)

 

b) Cuando la incógnita x está en la cantidad subradical.

Para determinar el dominio en estos casos, tienes que considerar que cuando la cantidad subradical de una expresión es negativa, el resultado será un número indefinido, por lo tanto, los valores que tome la incógnita x, tienen que dar como resultado que la cantidad subradical sea igual o mayor que cero.

Para determinar el recorrido en estos casos, como el recorrido depende del dominio, será igual al conjunto de números reales positivos incluyendo al 0, ya que si reemplazamos el dominio, solo se obtendrán valores positivos para la función f (x).

 

Ejemplo:

Determina el dominio y recorrido de la función real g (x) = funciones_15.jpg (90×40)

Para determinar su dominio, sabemos que la cantidad subradical tiene que ser mayor o igual a cero, por lo tanto;

funciones_16.jpg (600×130)

 

Entonces, el dominio  para esta función son todos los números reales mayores o iguales a 1.

funciones_17.jpg (600×60)

Como lo explicamos anteriormente, el recorrido, son todos los números reales mayores o iguales a cero.  Si lo demostramos, podemos partir con la primera cantidad de x que para esta función es 1, entonces; 

 

funciones_18.jpg (600×470)

 

c) Cuando la incógnita x está en un logaritmo.

La función logaritmo está definida de la forma;

funciones_19.jpg (600×50)

Siendo a un número fijo, positivo, distinto de 1.

Para encontrar el dominio cuando es una función logaritmo, debes recordar que los logaritmos NO están definidos para los números negativos, por lo tanto el dominio tiene que ser mayor que cero. Por lo tanto, los valores que tome la incógnita x deben hacer que la función sea mayor que cero.

El recorrido es similar en todos los casos con logaritmos, por lo tanto son todos los números reales.

 

Ejemplo:

Determina el dominio y recorrido de la función f (x) = log2 (x – 7)

Para determinar el dominio sabemos que x – 7 tiene que ser mayor que 0 por lo tanto;

funciones_20.jpg (600×250)

 

Entonces x debe ser mayor que 7 para que se cumpla la función.

funciones_21.jpg (600×60)

El recorrido es similar para todos los casos con logaritmo;

funciones_22.jpg (600×60)

 

 

Video:


 


Creado por Portal Educativo. Fecha: 2015-07-03. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.


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