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Otros casos de Resolución de ecuaciones cuadráticas


Actividad Nº 8



 

1- Resolución de ecuaciones de segundo grado

Para resolver las ecuaciones de segundo grado puedes utilizar el método de completar el cuadrado, factorización, la fórmula general o las fórmulas para las ecuaciones incompletas, pero ¿qué pasa si estas ecuaciones tienen denominadores, letras o raíces? ¿Cómo las resolverías?, en este tema lo aprenderás.

 

1.1-  Ecuaciones de 2° grado con denominadores

Resolver las ecuaciones de 2° grado con denominadores es muy simple, solo debes quitar los denominadores y resolver igual que las ecuaciones sin denominadores, esto se realiza de la siguiente manera;

1° Hay que buscar el denominador común entre todos los denominadores de las fracciones que aparecen en ambos lados de la igualdad (miembros de la ecuación), sacando el mínimo común múltiplo, ya que si dos fracciones son iguales y tienen el mismo denominador, sus numeradores son iguales. Así se cumpliría la propiedad llamada uniforme de los números reales donde; a = b si y sólo si a:c = b:c (para c ≠ 0).

2° Luego transformamos los numeradores (como se hace en la suma de fracciones), y así los denominadores se pueden quitar. 

3° Ordenas la ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, para que la ecuación quede igual a cero.

4° Resuelves la ecuación utilizando alguno de los métodos ya estudiados.

 

Ejemplos:

a) Resuelve la ecuación,  otros_casos_ecuacion_cuadratica_1.jpg (600×90)

 

- Para igualar los denominadores en esta ecuación, sacamos el mínimo común múltiplo entre 5, 2 y 10. El m.c.m es 10, multiplicamos entonces los numeradores y cancelamos los denominadores;

 

otros_casos_ecuacion_cuadratica_2.jpg (600×375)

 

- Ahora, ordenamos la ecuación y factorizamos;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_3.jpg (600×640)

 

Respuesta: Las raíces de la ecuación son 3 y – 1/2.

 

b) Resolver la ecuación  otros_casos_ecuacion_cuadratica_4.jpg (600×90)

 

Este caso es un poco más complejo, ya que, no solo presenta números en los denominadores, sino también la incógnita x. Como un denominador es x y en el otro es   x + 2, dan como resultado números diferentes, por lo tanto el mínimo común múltiplo es x (x + 2).  Multiplicamos los numeradores según corresponda y eliminamos los denominadores;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_5.jpg (600×390)

 

- Ahora, ordenamos la ecuación y multiplicamos por -1 para quitar el signo negativo de a para que sea más fácil factorizar;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_6.jpg (600×360)

 

- Factorizamos la ecuación y resolvemos las raíces de la ecuación.

otros_casos_ecuacion_cuadratica_7.jpg (600×530)


Respuesta: Las raíces de la ecuación son 5 y - 2.

 

1.2-  Ecuaciones literales de 2° grado

Las ecuaciones de 2° grado literales son aquellas que contienen letras para representar una o más cantidades conocidas, generalmente se representan con las primeras letras del abecedario (a,b,c…), y las incógnitas con las últimas letras (x, y, z).  Se pueden resolver igual que las ecuaciones de 2° grado numéricas, por el método de completar el cuadrado,  por factorización o utilizando la fórmula general.

En la mayoría de las ecuaciones literales resulta más fácil la resolución por factores que por la fórmula general, porque ésta última, tiene más pasos a seguir.

Deberás identificar cuáles son los coeficientes de cada término antes de resolver la ecuación. Para esto es importante ordenar la ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, así podrás reconocer con mayor facilidad el coeficiente en x2, en x y el término independiente, esto para poder ocupar los métodos de forma óptima.

Ejemplos:

 

a) Resolver la ecuación x2 + 2 a x – 35 a2 = 0

En este caso podemos ver que la ecuación se encuentra ordenada, donde podemos identificar fácilmente los términos de la ecuación, en x2 (como esta sólo) el coeficiente es 1, en x el coeficiente es 2a, y el término independiente es 35 a2. Entonces, factorizamos y obtenemos las raíces de la ecuación.

 

otros_casos_ecuacion_cuadratica_8.jpg (600×560)

 

Respuesta: Las raíces de la ecuación son - 7a  y 5a.

 

b) Resolver la ecuación x2 + a x = 20 a2.

Primero ordenamos la ecuación y luego resolvemos.

 

otros_casos_ecuacion_cuadratica_9.jpg (600×200)

 

Ahora, podemos identificar los términos de la ecuación, donde a = 1, b = a y c = 20 a2, reemplazamos en la fórmula general.

otros_casos_ecuacion_cuadratica_10.jpg (600×1240)

Respuesta: Las raíces de la ecuación son 4 a y - 5 a.

 

1.3-  Ecuaciones con raíces o radicales que se reducen a 2° grado. Soluciones extrañas.

La ecuaciones con raíces o radicales, también llamadas ecuaciones irracionales, son todas aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

Para resolver este tipo de ecuaciones tienes que seguir los siguientes pasos;

1° Aislar la raíz (radical) en uno de los dos miembros, pasando todos los otros términos al otro miembro, incluidos los que tengan raíces. Si hay varias raíces (radicales) hay que aislar la sea más compleja.

2° Elevar al cuadrado ambos miembros, quitar la raíz (radical) y resolver el resto de la ecuación. 

Si después de esto, existieran más raíces (radicales) se realiza el mismo procedimiento (paso 1 y 2) hasta eliminar todas las raíces  (radicales).

3° Reducir términos semejantes y ordenar la ecuación de la forma ax2 +bx + c = 0

4° Resolver la ecuación la ecuación de segundo grado, usando la fórmula general o factorizando.

5° Comprobar las soluciones (o raíces) que se obtuvieron, reemplazando el valor de x por éstas en la ecuación original, esto porque cuando se eleva a la misma potencia ambos lados de la igualdad, se introducen soluciones que no satisfacen la ecuación dada. A estas raíces o soluciones se les llama soluciones extrañas o inadmisibles. Entonces, al hacer la verificación, sabrás que si las soluciones satisfacen la ecuación, son verdaderas y si no satisfacen la ecuación las soluciones son extrañas o falsas.

 

Ejemplos:

a) Resuelve la ecuación y verifica sus raíces otros_casos_ecuacion_cuadratica_11.jpg (600×60)

1° Aislamos el radical;

 

otros_casos_ecuacion_cuadratica_12.jpg (600×55)

 

2° Elevamos al cuadrado ambos miembros, quitamos la raíz y resolvemos el cuadrado de binomio;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_13.jpg (600×200)

 

3° Reducimos términos semejantes y ordenamos la ecuación;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_14.jpg (600×190)

 

4° Resolvemos en este caso factorizando, multiplicamos primero por -1 para que sea más fácil factorizar;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_15.jpg (600×690)

 

5° Comprobamos las soluciones en la ecuación original;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_16.jpg (600×350)

 

Respuesta:

- La solución correcta de la ecuación es 2 y la solución extraña o falsa es 12.

 

b) Resuelve la ecuación y verifica sus raíces. otros_casos_ecuacion_cuadratica_17.jpg (600×60)

1° Aislamos el radical que es más complejo;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_18.jpg (600×55)

 

2° Elevamos al cuadrado ambos miembros, quitamos la raíz y resolvemos el cuadrado de binomio;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_19.jpg (660×200)

 

- Como todavía tenemos una raíz, realizamos nuevamente los pasos 1 y 2, aislamos la raíz, reducimos términos semejantes, elevamos al cuadrado, quitamos la raíz y resolvemos el cuadrado de binomio;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_20.jpg (660×620)

 

3° Reducimos términos semejantes, y ordenamos la ecuación;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_21.jpg (660×190)

 

4° Resolvemos en este caso con la fórmula general donde a = - 1, b = 62 y c = 61;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_22.jpg (660×1120)

 

5° Comprobamos las soluciones en la ecuación original;

otros_casos_ecuacion_cuadratica_23.jpg (600×340)

 

otros_casos_ecuacion_cuadratica_24.jpg (600×350)

 

Respuesta:

- La solución correcta de la ecuación es 1 y la solución extraña o falsa es 61.

 

 


 


Creado por Portal Educativo. Fecha: 2015-04-06. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.


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