Teoremas fundamentales de los triángulos
Segundo medio - Actividad Nº 63

 

 

1- ¿Qué es un Teorema?

Un teorema, es toda proposición que partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una verdad (tesis) no evidente por sí misma, por lo tanto, deben ser demostradas.

El enunciado de un teorema consta de dos partes: 

- Hipótesis, que contiene los datos.

- Tesis, que es la verdad que se quiere demostrar.

El razonamiento o deducción lógica que se hace para concluir la tesis utilizando la hipótesis se llama demostración.

Existen también los lemas, que son teoremas de menor importancia, cuyo único objetivo es facilitar la demostración de otro teorema más importante.

Se llama corolario a toda consecuencia directa de un teorema que se deduce por un razonamiento simple.

Un teorema se llama recíproco de otro cuando la tesis del primero pasa a ser la hipótesis del segundo y la hipótesis del primero se convierte en la tesis del segundo.

 

2- Teoremas fundamentales sobre triángulos

1- Teorema de la suma de los ángulos interiores
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°

 

teoremas_triangulos.jpg (325×331)

 

2- Teorema del lado mayor (propiedad de correspondencia)
En un triángulo, al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa.

 

 

3- En un triángulo, a lados congruentes se oponen ángulos congruentes y a ángulos congruentes se oponen lados congruentes.

 

 

4- Los ángulos interiores de un triángulo equilátero miden todos 60°.

 

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5- En un triángulo isósceles, los ángulos basales son congruentes.

 

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6- Teorema de la suma de las medidas de los ángulos exteriores
La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°.

 

teoremas_triangulos_2.jpg (478×347)

 

 

7- Teorema del ángulo exterior
En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.

 

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8- Teorema de la desigualdad triángular
Un lado de un triángulo siempre es menor que la suma de los otros dos (condición de existencia de un triángulo dados sus lados)

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9- Teorema particular de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

 

Teorema_pitagoras_1.jpg (600×530)

 

 

10- Teorema general de Pitágoras
a)
En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la medida del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados menos el doble de la medida de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

 

teoremas_triangulos_13.jpg (486×396)

 

b) En un triángulo obtusángulo, el cuadrado de la medida del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados más el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

teoremas_triangulos_12.jpg (409×402)

 

El teorema genera de Pitágoras es un criterio para determinar si un triángulo es rectángulo, acutángulo u obtusángulo cuando se conocen sus tres lados.

 

11- Teorema de Euclides
En todo triángulo rectángulo:

a) El cuadrado de la medida de la altura respecto de la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones  de los catetos sobre la hipotenusa.

 

Teorema_euclides_1.jpg (600×390)

 

b) El cuadrado de la medida de uno de los catetos es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa y la medida de la hipotenusa completa.

 

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Creado por Portal Educativo. Fecha: 2017-04-05. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.
 
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