Raíces y sus propiedades
 
 
 
 
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Raíces y sus propiedades
Segundo medio - Actividad Nº 5

 
 
 
 
 
 
 
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 Raíces y sus propiedades
 
 

 
 
 
 
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1- ¿A qué llamamos raíz de un número?

Una raíz corresponde a un número que, al multiplicarse por sí mismo la cantidad de veces que indique el indice, se obtiene la cantidad subradical.

Sea c un número real y n un número natural mayor que 1. Si xn = c, decimos que x es la raíz enésima de c, que se escribe nc, es decir, X  es el único número real cuya potencia n-ésima es c.

 

raices_1.jpg (464×258)

 

Ejemplos:

4 = 364    ⇔   43 = 64

5 = 3125  ⇔   53 = 125

2 = 416    ⇔   24 = 16

 

dato_max.jpg (660×138)

Toda raíz consta de los siguientes elementos: Raíz, radical, índice y cantidad subradical.

Por convención se acostumbra omitir el índice 2 de las raíces cuadradas; por ejemplo 216 se escribe 16.

 

2- Propiedades

De las propiedades de las potencias se deducen las de los radicales:

2.1- Relación de la raíz y la potencia

Existe una estrecha relación entre las potencias y las raíces. En efecto, toda raíz puede ser expresada como una potencia de exponente fraccionario.

 

raices_2.jpg (365×251)

 

De esta propiedad se pueden extraer ciertas conclusiones:

- El índice y el exponente del subradical son simplificables entre sí.

Ejemplos:

raices_3.jpg (404×96)

 

- El índice y el exponente del subradical son amplificables entre sí:

raices_4.jpg (321×60)

Al interpretar las raíces como una potencia de exponente racional sí es posible realizar algunas operaciones que con exponentes enteros no habríamos podido realizar, ya que en este caso siempre será posible igualar los exponentes.
 
Por ejemplo 
- Para multiplicar y dividir radicales conviene reducirlos a índice común.
- Para comparar radicales también conviene expresarlos con el mismo índice, pues dados dos números reales positivos a y b, y un número entero positivo n se cumple que:
 
raices_6.jpg (527×277)
Radicales equivalentes.
Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes.
 
raices_equivalentes.jpg (284×78)
 
Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales equivalentes, multiplicando o dividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical.
Un radical es irreducible, cuando la fracción de la potencia asociada es irreducible.
 
 

2.2- Multiplicación de raíces de igual índice

Se conserva el índice y se multiplican los subradicales.

raices_5.jpg (446×197)

 

2.3-  División de raíces de igual índice.

Se conserva el índice y se dividen los subradicales.

raices_division.jpg (405×329)

 

2.4- Composición o descomposición de raíces.

a- Composición: Un factor puede ingresar a una raíz si lo elevo al índice de ella (ingresa como factor del subradical)

raices_componer.jpg (425×164)

 

b- Descomposición: Un factor puede salir de una raíz si dicho factor tiene raíz exacta.

raices_descomponer.jpg (366×164)

 

2.5- Raíz de una raíz

Se deben multiplicar los índices.

 

raices_de_una_raiz.jpg (425×180)

 

2.6- Suma y resta de raices

Para sumar o restar dos radicales, éstos deben ser semejantes.
 
Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.
Para comprobar si dos radicales son semejantes o no, se simplifican si se puede y se extraen todos los factores que sea posible.
 
La suma o resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los datos, cuyo coeficiente es igual a la suma o resta de los coeficientes de los radicales.
 
raices_suma_y_resta.jpg (439×92)
 
 
raices_suma_y_resta_ej_1.jpg (439×190)
 
 
raices_suma_y_resta_ej_2.jpg (420×253)
 
 
 
raices_suma_y_resta_ej_3.jpg (393×351)
 
 
dato_max.jpg (660×138)
 
Recuerda:
 
- Un número entero multiplicado por un irracional es siempre irracional.
- Un número entero sumado con un irracional es siempre irracional.
- Una raíz exacta corresponde a un número racional.
- Es posible combinar radicales cuando el índice y el radicando de dos o más radicales son iguales. A los radicales con el mismo índice y radicando se les conoce como radicales semejantes. Es útil tratar a los radicales de la misma forma que a las variables: los radicales similares pueden sumarse y restarse de la misma manera que las variables. Algunas veces, necesitarás simplificar una expresión radical antes de que sea posible sumar o restar términos semejantes.
 
 
 
Ahora prueba tus conocimientos:
 
a) 32 + 52 - 72  =
 
b) 55 + 420 - 3√45 = 
 
c) 2 3√54 - 3√24 - 33√16 =
 
d) 3√2 + 2√3 - √12 =
 
 
Respuestas:
 
a) √2
b) 4√5
c) -2 3√3
d) 3√2

 
Creado por Portal Educativo. Fecha: 2015-10-23. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.
 
 
 
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