Teorema de Euclides


Actividad Nº 43



 

1- Euclides

Euclides fue uno de los más destacados matemáticos de la edad antigua, nació en Alejandría, Egipto, alrededor del año 325 a. C. y muere aprox. el año 265 a. C., se sabe poco de su vida, pero, se dice que enseñó matemática la mayor parte de su vida en Alejandría, donde fundó su escuela. La mayoría de los autores que hablan sobre sus aportes, dicen que era un hombre justo y dispuesto a que las matemáticas avanzaran en cualquier circunstancia.

Su formación estuvo asociada a la academia de platón, este punto de referencia es esencial para entender la naturaleza y los límites de su obra matemática. La obra más conocida y relevante de Euclides se conoce como “Los Elementos”, que contiene 13 libros o capítulos (aunque se añadieron 2 libros más escritos por autores posteriores). Los primeros 6 son sobre geometría plana, los 3 siguientes sobre teoría de números, el décimo sobre inconmensurables, y los tres últimos sobre geometría de sólidos. Por ejemplo, en el libro I, incluye teoremas sobre congruencia, rectas paralelas, el teorema de Pitágoras, construcciones elementales, figuras equivalentes y paralelogramos. Es aquí donde plantea 5 postulados (que se aplican sólo a la geometría) y 5 nociones comunes (que se aplican a todas las ciencias), estas últimas llamadas por Proculus axiomas. En esta obra Euclides recopila, ordena y argumenta los conocimientos geométricos – matemáticos de su época, que ya eran muchas.  

 

2- Teorema de Euclides:

En esta oportunidad trataremos el teorema de Euclides referente a algunas proporciones en el triángulo rectángulo.

En todo triángulo rectángulo, si se traza la altura correspondiente al vértice del ángulo recto, los dos nuevos triángulos rectángulos son semejantes entre sí, y a la vez son semejantes al original. A partir de lo anterior, se extraen las siguientes relaciones de proporcionalidad;

 

2.1- Teorema de Euclides referido a la altura:

En todo triángulo rectángulo, la altura (que se traza desde el ángulo recto), es media proporcional geométrica (es decir, la altura al cuadrado), entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa. 

 

Teorema_euclides_1.jpg (600×390)

 

 

2.2- Teorema de Euclides referido al cateto:

En todo triángulo rectángulo, cada cateto es medida proporcional geométrica (es decir, cada cateto al cuadrado) entre la hipotenusa entera y su proyección sobre ella. 

 

Teorema_euclides_2.jpg (600×420)

 

2.3- Relación entre los teoremas de Euclides:

En todo triángulo rectángulo, si despejamos m y n del teorema referido a los catetos y lo reemplazamos en el teorema referido a la altura, se cumple que la altura (que se traza desde el ángulo recto), es igual al producto de los catetos dividido por la hipotenusa.

 

 

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- Despejamos m y n del teorema referido a los catetos;

 

Teorema_euclides_4.jpg (600×170)

 

- Reemplazamos m y n en el teorema referido a la altura;

 

Teorema_euclides_5.jpg (600×270)

 

En resumen, según los teoremas de Euclides referentes a la altura y a los catetos, en todo triangulo rectángulo se cumple que; 

 

Teorema_euclides_6.jpg (660×310)

 

 

Ejemplo:

Dado el triangulo ABC, rectángulo en A, Si AB = 15 cm. y BD = 9 cm. ¿Cuánto mide AC y AD?

 

Teorema_euclides_7.jpg (600×380)

 

Aplicando el teorema referido a los catetos tenemos que;

 

Teorema_euclides_8.jpg (600×270)

 

Entonces, CD = BC – BD = 25 - 9 = 16.

- Para calcular AC aplicamos nuevamente el teorema referido a los catetos;

 

Teorema_euclides_9.jpg (600×270)

 

- Para calcular AD aplicamos el teorema referido a la altura;

Teorema_euclides_10.jpg (600×270)

 

Respuesta: AC mide 20 cm. y AD mide 12 cm.

 


 


Creado por Portal Educativo. Fecha: 2015-10-23. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.
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