Criterios de semejanza de triángulos


Actividad Nº 41



 

1- Semejanza

Dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma, sus ángulos son respectivamente iguales (congruentes) y sus lados proporcionales.  Es decir,  uno de los polígonos es una ampliación o reducción de la otra.

Ejemplo:

 

semejanza_triangulos_1.jpg (600×400)

 

 

1.1- Teorema fundamental para la existencia de triángulos semejantes

Si aplicamos el teorema de fundamental de la semejanza o teorema particular de Thales en un triángulo podemos ver que toda paralela a un lado de un triángulo determina dos triángulos semejantes entre sí, ya que sus lados son proporcionales y sus ángulos son iguales.  

Ejemplo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo DE a al lado BC, se obtiene otro triángulo ADE, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC

 

semejanza_triangulos_2.jpg (600×700)

 

Se dirá entonces que los triángulos ABC y ADE son semejantes.

 

2- Criterios de semejanza de triángulos

Para determinar la semejanza entre dos polígonos cualesquiera, estos se descomponen en triángulos y se verifica la semejanza entre los triángulos que los forman.

Se llaman Criterios de Semejanza de dos triángulos, a un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes.

Esos criterios o casos son:

 

semejanza_triangulos_3.jpg (660×130)

 

a. Criterio ángulo - ángulo (AA):

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales (congruentes).

 

semejanza_triangulos_4.jpg (600×500)

 

En consecuencia, el tercer ángulo también resulta igual.

 

b. Criterio Lado - Ángulo - Lado (LAL):

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e iguales el ángulo comprendido entre ellos. 

 

semejanza_triangulos_5.jpg (600×640)

 

 

c. Criterio Lado - Lado - Lado (LLL):

Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

 

semejanza_triangulos_6.jpg (600×450)

 

 

d. Criterio Lado - Lado - Ángulo (LLA):

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de ellos son respectivamente iguales.

 

semejanza_triangulos_7.jpg (600×530)

 

 

Ejemplo 1:

Los triángulos ABC y DEF son semejantes, si AB = 6, BC = 12, DE = 10 y DF = 7,5. Determina el valor de AC + EF.

Dibujamos los triángulos y anotamos los datos, designamos a AC = x y EF = y.

 

semejanza_triangulos_8.jpg (660×280)

 

Para resolver este ejercicio, podemos ocupar el criterio de semejanza de triángulos LLL, entonces diremos que; 

 

semejanza_triangulos_9.jpg (600×100)

 

Reemplazamos con los datos y resolvemos x e y por separado;

 

semejanza_triangulos_10.gif (583×392)

 

Sumamos;

semejanza_triangulos_11.jpg (600×50)

 

Respuesta: AC + EF = 24,5.

 

 

Ejemplo 2:

Para demostrar que Δ ABD ~ Δ EDC, ¿Qué criterio de semejanza usarías? Justifica.

 

semejanza_triangulos_12.jpg (600×370)

 

A) LAL

B) AA

C) LLL

D) LLA

 

Respuesta: Alternativa B.

 

Justificación:

Usaría el criterio de semejanza Ángulo – Ángulo, ya que DCE = 90° - 30° = 60°, entonces se cumple; 

 

semejanza_triangulos_13.jpg (600×110)


 


Creado por Portal Educativo. Fecha: 2015-10-23. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.


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Max