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Probabilidades: Elementos


Actividad Nº 38


 

1- Elementos de Probabilidades
 
Los primeros estudios fueron motivados por la posibilidad de acierto o fracaso en los juegos de azar. La probabilidad es un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios, es decir, operaciones cuyo resultado no puede ser predicho de antemano con seguridad. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda o de un dado.
 
 
1.1- Enfoques de probabilidad
 
a- Experimento aleatorio o experimento: Cualquiera operación cuyo resultado no puede ser predicho con anterioridad con seguridad.
 
Ejemplo:
 
- Lanzamiento de una moneda.
- Lanzamiento de un dado.
- Extracción de una carta de una baraja de 52 cartas.
 
 
b- Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento. Su símbolo es la letra griega  Ω (omega).Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos o infinito numerable, entonces se dice  que éste es discreto y si el espacio muestral tiene como elemento todos los puntos de algún intervalo real, entonces se dice que éste es continuo.
 
Ejemplos:
 
- Experimento: lanzamiento de un dado
  Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
 
3- Evento o suceso: es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Todo subconjunto es un evento, en particular Ω  mismo es un evento llamado suceso seguro y el conjunto vacío, Ø, también es un evento, llamado suceso imposible. Denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en mayúsculas: A, B, C, etc.
 
4- Cardinalidad del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él.
 
 
Ejemplos:
 
A= {obtener un número impar al lanzar un dado}
A= {1, 3, 5}
 
B= {obtener al menos una cara al lanzar una moneda dos veces}
B= {cs, sc, cc}
 
Como los eventos son subconjuntos de Ω, entonces es posible alplicar la teoría de conjuntos para obtener nuevos eventos.
El complemento de un conjunto A se denota por Ac y se define como la colección de aquellos elementos de Ω que no pertenecen a A.
 
Si A y B son eventos, entonces también lo son A ∪ B, A ∩ B, Ac
A ∪ B ocurre sí, y solo si ocurre A o solo ocurre B u ocurren A y B a la vez.
A ∩ B ocurre si, y solo si ocurre A y ocurre B a la vez.
Ac ocurre si, y solo si no ocurre A
 

En todo esperimento aleatorio Ω se considera el conjunto universal, por lo tanto, todos los complementos son tomados respecto a Ω.

Ejemplo

Considere el experimento lanzamiento de dados.
 
a) determine el espacio muestral.
b) Obtenga los siguientes eventos:
 
A= {La suma de los números es un múltiplo de dos}
B= {Ambos dados muestran la misma cara}
C= {Los dos números son primos}
D= {La resta de los dos números es divisible por tres}
 
c) Encuentre, si es posible, A  B; BC; B ∩  CC
 
Desarrollo:
 
a) determine el espacio muestral.
probabilidades_media_1.jpg (406×182)
 
 
b) Obtenga los siguientes eventos:
 
- A= {La suma de los números es un múltiplo de dos}
 
probabilidades_media_2.jpg (413×121)
 
- B= {Ambos dados muestran la misma cara}
 
B =  { (1, 1) (2, 2) (3, 3) (4, 4) (5, 5) (6, 6)}
 
- C= {Los dos números son primos}
 
probabilidades_media_3.jpg (413×121)
 
- D= {La resta de los dos números es divisible por tres}
 
 
D = {(1, 4) (2, 5) (3, 6) (4, 1) (5, 2) (6, 3)}
 
 
c) Encuentre, si es posible, A  B; BC; B ∩  CC
 
 B = A
 
BC  =  {(x, y) / x ≠ y}     →  El conjunto complemento de B es igual al evento (x, y) tal que x sea distinto a y.
 
 
probabilidades_media_4.jpg (500×145)
 
 
 
2- Probabilidad en espacio finito o equiprobable
 
Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles y no existe razón que provilegie un resultado sobre otro, es decir todos los resultados son equiprobables (todos poseen la misma capacidad de ocurrir), se puede calcular la probabilidad de un evento aleatorio según la regla de Laplace.
 
Regla de Laplace: La probabilidad de que un suceso A ocurra se puede calcular utilizando:
 
probabilidades_media_laplace.jpg (600×137)
 
 
Ejemplo:
 
Evento A: que al lanzar un dado salga un múltiplo de 3
 
Ω = {Lanzamiento de un dado}   ⇒   Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}  ⇒ casos totales 6
A= {aparece un múltiplo de tres}  ⇒  A= {3, 6}    ⇒ casos favorables 2
 
probabilidades_media_5.jpg (600×137)
 
ó 0,33 ó 33%
 
 
Ejemplo:
 
Evento B: que al lanzar un dado salga un número primo.
 
Ω = {Lanzamiento de un dado}   ⇒   Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}  ⇒ casos totales 6
B= {aparece un número primo}  ⇒  B= {2, 3, 5}    ⇒ casos favorables 3
 

probabilidades_media_6.jpg (600×94)

 

ó 0,5 ó 50%

 

Ejemplo 2:

Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos, con los experimentos asociados. Para hacerlo determina espacio muestral e identifica los casos favorables .

a) Lanzar un dado, y obtener un cinco.

Ω = {Lanzamiento de un dado}    ⇒   Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}  ⇒ casos totales 6

A = {obtener un cinco}    ⇒  A = {5} ⇒ casos favorables 1

probabilidades_media_7.jpg (185×94)

 

b) Escoger un número entre 1 y 20, y que salga el 9.

Ω = {Escoger un número entre 1 y 20}   ⇒   Ω= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}

B= {que salga el número 9}  ⇒ B = {9} ⇒ casos favorables 1

probabilidades_media_8.jpg (185×94)

 

Ejemplo 3:

Se considera el experimento aleatorio "sacar una bolita de una urna" cuyo espacio muestral es:

Ω= {12 bolitas verdes, 24 amarillas, 6 rojas}  

a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita roja?

Ω= {12 bolitas verdes, 24 amarillas, 6 rojas}  ⇒ casos totales 42

S= {extraer una bolita roja}  ⇒  casos favorables 6

Respuesta: 6 / 42  simplificamos por 6 =  1 / 7 

 

b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita amarilla?

Ω= {12 bolitas verdes, 24 amarillas, 6 rojas}  ⇒ casos totales 42

S= {extraer una bolita amarilla}  ⇒  casos favorables 24

Respuesta: 24 / 42  simplificamos por 6 =  4 / 7 

 

c) Si extrae una bolita verde sin reponerla, ¿cuál es la probabilidad de extraer una bolita roja?

En este caso debemos sacar una bolita verde del total dado anteriormente:

Ω= {11 bolitas verdes, 24 amarillas, 6 rojas}  ⇒ casos totales 41

S= {extraer una bolita roja}  ⇒  casos favorables 6

Respuesta: 6/41 

 

3- Conjuntos y probabilidades.

Como los eventos son subconjuntos de Ω, entonces es posible alplicar la teoría de conjuntos para obtener nuevos eventos.

Podemos utilizar conjuntos para definir distintos sucesos de un experimento aleatorio, y plantear las relaciones existentes entre ellos que nos permitan deducir sus probabilidades. En general, dado un experimento aleatorio con dos sucesos A y B, podemos definir las siguientes operaciones:
 
 
probabilidades_media_conjuntos.jpg (604×544)
 
Si A y B son eventos, entonces también lo son A ∪ B, A ∩ B, Ac
A ∪ B ocurre sí, y solo si ocurre A o solo ocurre B u ocurren A y B a la vez.
A ∩ B ocurre si, y solo si ocurre A y ocurre B a la vez.
Ac ocurre si, y solo si no ocurre A
El complemento de un conjunto A se denota por Ac y se define como la colección de aquellos elementos de Ω que no pertenecen a A.

 

Dado un experimento aleatorio  y sus dos sucesos A y B, se tiene que:

 

P(A-B) = P(A) - P (A ∩ B) 

P (AC) = 1 - P(A)

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) -  P (A ∩ B) 

 

A y B son mutuamente excluyentes si ambos sucesos no pueden ocurrir de manera simultánea A ∩  B = Ø :

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) 

 

Veamos algunos ejemplos resueltos:

Calcula en cada caso la probabilidad pedida:

a) Si, P(A) =0,78; P(B)= 0,65; P(A ∪ B) = 0,8;  Calcula : P(A - B) 

* Solución:

Paso 1: Se tiene que : P(A-B) = P(A) - P (A ∩ B) 

Paso 2: Como no conocemos el valor de P (A ∩ B) utilizaremos la ecuación: 

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) -  P (A ∩ B) 

Paso 3: Reemplazamos los valores dados en la ecuación:

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) -  P (A ∩ B)

0,8             = 0,78 + 0,65 - P (A ∩ B) 

0,8            =  1,43 - P (A ∩ B)

0,8 - 1,43 =  - P (A ∩ B)  

- 0,63  = P (A ∩ B)  /  • -1

P (A ∩ B) = 0,63

 

Paso 4: ahora podemos reemplazar en la ecuación para obtener el resultado que me piden:

 P(A-B) = P(A) - P (A ∩ B) 

 P(A-B) = 0,78 - 0,63

 P(A-B) = 0,15 

 

b)  Si, P(A) = 0,24; Calcula P(Ac)

Paso 1: Se tiene que → P (AC) = 1 - P(A)

Paso 2: Entonces reemplanzando:

 P (AC) = 1 - P(A)

 P (AC) = 1 - 0,24

 P (AC) = 0,76

 

c) Si, P(A) = 0,49; P(B) 0,45; P (A ∪ B) =0,71; Calcula P (A ∩ B) 

Paso 1: Se tiene que → P (A ∪ B) = P(A) + P(B) -  P (A ∩ B) 

Paso 2: reemplazamos los valores dados en la ecuación:

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) -  P (A ∩ B) 

0,71           = 0,49 + 0,45 - P (A ∩ B) 

0,71           = 0,94 - P (A ∩ B) 

0,71 - 0,94 =  P (A ∩ B) 

- 0,23 =  P (A ∩ B)   /  • -1

P (A ∩ B) = 0,23

 


 


Creado por Portal Educativo. Fecha: 2015-10-23. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net


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