Logaritmos y sus propiedades


Actividad Nº 35



 

1- Definición de Logaritmo

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.

Logaritmo_1.jpg (658×310)

 

Por ejemplo:

5 0 = 1

51 = 5

52 = 25

53 = 125, etc.

Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log5 1) es 0, por que 0 es el exponente al que hay que elevar la base 5  para que dé 1; el log5 5 es 1; el log5 25 es 2, el log5 125 es 3, etc.

- No existe el logaritmo de los números negativos.

- El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión logb a, siempre, por definición, a ∈ R+ y  b ∈ R+ – {1}.

- La expresión logb a , se lee como: “logaritmo de a en base b”.
 
 Volvamos a la definición de logaritmo: “exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado”.Si lo escribiera como ecuación, corresponde a resolver logb a = x, donde b es la base del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos.
 
Ejemplo1:
 
- Calcula el valor de log7 343
 
equivale a resolver la ecuación:
 
log7 343 = x
 
Entonces, ya que la base del logaritmo es 7, el exponente no se conoce y 343 es el argumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir:
 
7x =343
7x = 73
luego, igualando los exponentes, se concluye que
 
x= 3
 
Luego, log7 343 = 3
 
Ejemplo 2:

- Calcula el valor de log0,7 0,343
equivale a resolver la ecuación:
 
log0,7 0,343 = x
 
 
Luego:
0,7x = 0,343
0,7x = (0,7)3
Luego, igualando exponentes tenemos:
x=3
log0,7 0,343 =  3
 

 

Para una definición más completa de logaritmos, se determinarán restricciones respecto de su base y su argumento.

 

2- Propiedades

2.1- Logaritmo de la unidad

El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.

logb (1) = 0 ;  con b ≠ 1.

Ej:  log5 (1) = 0    porque     50 =1

log(1) = 0   porque   70 = 1

log20 1 = 0   ⇔  200 = 1

 

2.2- Logaritmos de la base

El logaritmo de la base es igual a 1.

logb (b) = 1 ; con b ≠ 1.

Ej:

log5 (5) = 1  ⇔ 51 = 5

log6 (6) = 1  ⇔ 61 = 6

log12 (12) = 1  ⇔ 121 = 12

 

2.3- Logaritmo de una potencia con igual base:

El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.

logb bn = n,  con b ≠ 1

 

Ej:

log6 6 3 = 3

 

2.4- Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

logb (a • c) = logb a + logb  c

Ej:

logb (2) = logb 5 + logb 2

 

2.5- Logaritmos de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.

logaritmos_cociente.jpg (485×90)

Ej:

Logaritmo_2.jpg (418×83)

 

2.6- Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

loga cn = n loga c 

Ej:

log3 10 2  =  2 log3 10

 

2.7- Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.

logaritmos_raiz.jpg (488×104)

Ej:

Logaritmo_3.jpg (488×331)

 

2.8- Cambio de base

 

logaritmos_cambio_base.jpg (545×260) para todo p, a, b > 0;  b, c ≠ 1

 

Ej:

log2 5 = log 5 / log 2

dato_max.jpg (660×138)

En relación con las propiedades de los logaritmos se debe tener presente que se cumple en general:
 
- logb (p · q) ≠ logb p · logb q
- logb (p + q) ≠ logb p + logb q
- logb (p – q) ≠ logb p – logb q
 

3- Calcula cada uno de los siguientes logaritmos

a) log2 64

b) log9 243

c) log5 1

d) log3 3

e) log5 5 7

f) log81 27

g) log128 1

h) log6 6 3

 

 

Respuestas:

a- 6
b- 5/2
c- 0
d- 1
e- 7
f- 3/4
g- 0
h-3
 
material_descargable.jpg (322×58)
 
- Guía ejercicios logaritmos con respuestas
 

 


Creado por Portal Educativo. Fecha: 2015-10-23. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.
¿Necesitas más ayuda? Revisa nuestros cursos online :)
Homeschool
homeschool
Reforzamiento
Reforzamiento
PSU
psu


¿Entendiste? Cuéntanos si necesitas más ayuda :)
















Max