Logaritmos y sus propiedades
 
 
 
 
 
 
 
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Logaritmos y sus propiedades
Segundo medio - Actividad Nº 35

 

 

1- Definición de Logaritmo

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
 

Logaritmo_1.jpg (658×310)

 

Ejemplo

50 = 1
51 = 5
52 = 25
53 = 125, etc.

Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log5 1) es 0, por que 0 es el exponente al que hay que elevar la base 5  para que dé 1; el log5 5 es 1; el log5 25 es 2, el log5 125 es 3, etc.

- No existe el logaritmo de los números negativos.

- El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión logb a, siempre, por definición, a ∈ R+ y  b ∈ R+ – {1}.

- La expresión logb a , se lee como: “logaritmo de a en base b”.
 
 
Volvamos a la definición de logaritmo: “exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado”.Si lo escribiera como ecuación, corresponde a resolver logb a = x, donde b es la base del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos.
 
Ejemplo
 
- Calcula el valor de log7 343. Esto equivale a resolver la ecuación:
 
log7 343 = x
 
Entonces, ya que la base del logaritmo es 7, el exponente no se conoce y 343 es el argumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir:
 
7x =343
7x = 73
luego, igualando los exponentes, se concluye que
 
x= 3
 
Luego, log7 343 = 3
 
 
Ejemplo

- Calcula el valor de log0,7 0,343. Esto equivale a resolver la ecuación:
 
log0,7 0,343 = x
 
 
Luego:
0,7x = 0,343
0,7x = (0,7)3
Luego, igualando exponentes tenemos:
x=3
log0,7 0,343 =  3
 

Para una definición más completa de logaritmos, se determinarán restricciones respecto de su base y su argumento.



 

2- Propiedades

2.1- Logaritmo de la unidad

El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.

logb (1) = 0 ;  con b ≠ 1,  b > 0

Ejemplo

log5 (1) = 0    porque     50 =1
log(1) = 0   porque   70 = 1
log20 (1) = 0   ⇔  200 = 1


 

2.2- Logaritmos de la base

El logaritmo de la base es igual a 1.

logb (b) = 1 ; con b ≠ 1,  b > 0 
 

Ejemplo

log5 (5) = 1  ⇔ 51 = 5

log6 (6) = 1  ⇔ 61 = 6

log12 (12) = 1  ⇔ 121 = 12


 

2.3- Logaritmo de una potencia con igual base:

El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.
 

logb bn = n,  con b ≠ 1,  b > 0

 

Ejemplo

log6 6 3 = 3


 

2.4- Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

logb (a • c) = logb a + logb  c

Ejemplo

logb (2) = logb 5 + logb 2


 

2.5- Logaritmos de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.
 

logaritmos_cociente.jpg (485×90)
 

Ejemplo

Logaritmo_2.jpg (418×83)


 

2.6- Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

loga cn = n loga c 

 

Ejemplo

log3 10 2  =  2 log3 10


 

2.7- Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.
 

logaritmos_raiz.jpg (488×104)
 

Ejemplo

Logaritmo_3.jpg (488×331)

 

 

2.8- Cambio de base

 

logaritmos_cambio_base.jpg (545×260) 

para todo p, a, b > 0;  b, c ≠ 1

 

Ejemplo

log2 5 = log 5 / log 2

 

Dato Max

En relación con las propiedades de los logaritmos se debe tener presente que se cumple en general:
 
- logb (p · q) ≠ logb p · logb q
- logb (p + q) ≠ logb p + logb q
- logb (p – q) ≠ logb p – logb q
 


 

3- Calcula cada uno de los siguientes logaritmos

a) log2 64

b) log9 243

c) log5 1

d) log3 3

e) log5 5 7

f) log81 27

g) log128 1

h) log6 6 3

 

Respuestas:

a- 6
b- 5/2
c- 0
d- 1
e- 7
f- 3/4
g- 0
h-3
 

 
 
4- Ecuaciones logarítmicas
 
Se llama ecuación logarítmica a aquella cuya incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica se utilizan las propiedades de los logaritmos o su definición.
 
Para resolverlas consideraremos esencialmente cuatro aspectos:

a) Reducir las expresiones, cuando sea posible, utilizando las propiedades de logaritmos, hasta establecer una igualdad de logaritmos.
b) Si dos logaritmos de igual base son iguales, sus argumentos son iguales.
c) Utilizar la deinición de logaritmo para obtener el valor de la incógnita que se encuentra en el argumento.
d) Veriicar la solución para considerar las posibles restricciones.
 
 
4.1- Por definición
Se llega a una ecuación del tipo:
 
logb fx = c
 
Donde fx es una expresión de x, y c es un número real.
 
Se aplica la definición de logaritmo, para obtener:
 
bc=fx
 
 
Ejemplo
 
log5 5x + log5 30 = 3log5 5x · 30 = 3 se aplica propiedades de logaritmosse aplica def. de logaritmo 150 x = 53                                            x=125150                                           x = 56
Ahora comprobamos el resultado remplazando el valor de x en la ecuación.
 
 
log5 5·56 + log5 30= log5256 + log56 ·5= log 52·6·56= log553= 3
 

 
4.2- Por igualación de argumentos
Se llega a una ecuación del tipo:
 
logb fx= logb gx
 
Donde fx y gx son expresiones en x.
 
De la ecuación se deduce que:
 
fx = gx
 
 
Ejemplo
 
Resolver la siguiente ecuación: log 4x + 6 -1= log (2x-1)
 
Desarrollo:
 
log (4x + 6)-1= log 2x-1log 4x +6 - log 10 =log (2x -1)log 4x +610 = log 2x -1se aplican propiedades4x +610 =2x -14x +6 = 20x -10      16 =16x       x= 1
 
Se comprueba el resultado reemplazando el valor de x en la ecuación, igual que en el ejemplo anterior.
 
 
 
 
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Creado por Portal Educativo. Fecha: 2015-10-23. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.
 
 
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