Números irracionales y sus propiedades


Actividad Nº 1



 

1- Historia

Estos números fueron descubiertos en la escuela que tenía el matemático griego Pitágoras que vivió entre los años 569 y 470 a.C. Les llamaron irracionales porque iba contra sus ideas que se basaban en que todo es susceptible de expresarse en números. Pero la verdad es que estos números irracionales son tan racionales como los llamados propiamente racionales aunque son diferentes, pues los números irracionales son inconmensurables (no medible) y no pueden expresarse en la forma racional: 

fracciones_1.jpg (58×51)

 

El problema se les presentó a los pitagóricos cuando trataron de medir la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles que se les formaba en una baldosa cuadrada dividida en dos partes por una de sus diagonales.

 

numeros_irracionales.jpg (197×200)

Tomando como unidad el cateto de este triángulo y aplicando el Teorema de Pitágoras, apareció el primer número irracional que es: 

raiz_de_dos.jpg (47×41)cuyo valor aproximado es 1,4142135...

Los números irracionales no pueden expresarse exactamente en forma de fracción común o decimal, aunque pueden calcularse con los decimales que se deseen (no son decimales periódicos ni semiperiódicos).

Ejemplos de números irracionales:

23567810, etc.

π (pi) = 3.141592 ...  

e (número de Euler) = 2,718281828459…

ϕ (razón de oro) = 1,618033988749…

 

2- ¿Qué son números irracionales?

Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

En la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar aproximaciones. Estas pueden obtenerse con calculadora, utilizando fórmulas algebraicas o procedimientos geométricos. Los valores obtenidos suelen truncarse o redondearse.
 
El Conjunto de los Números Irracionales se simboliza por o bien por Q*. 
 
 
 
3- Propiedades de los números irracionales
 

- Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.

- Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

- Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ ϕ = 1.

- La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta.

Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.

 

dato_max.jpg (660×138)

- El conjunto de los números irracionales no verifica clausura entre las operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no necesariamente es irracional.

- Todos los racionales y todos los irracionales son números reales. Recuerda que incluídos en los racionales están los enteros y en los enteros, los naturales.

numeros_reales.jpg (275×125)

 


 


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