¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas incompletas?
Tercero Medio - Actividad Nº 4



Aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado o cuadráticas incompletas puras y mixtas con una incógnita.



   



1- ¿Qué son las ecuaciones cuadráticas incompletas?

Se llama ecuaciones incompletas de segundo grado o cuadráticas, cuando la ecuación carece del término en x o el término independiente, y se clasifican en ecuaciones cuadráticas incompletas puras (de la forma; ax2 + c = 0) y mixtas (de la forma ax2 + bx = 0), respectivamente.

 

1.1- ¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas incompletas puras?

Para resolver las ecuaciones cuadráticas incompletas puras de la forma ax2 + c = 0, deberás despejar la incógnita. Para esto pasamos c al 2° miembro, luego a y por último el cuadrado de x,  como se muestra a continuación;

 

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_1.jpg (138×181)

Entonces, las raíces (o soluciones) de una ecuación cuadrática incompleta pura son;

 

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_2.jpg (251×51)

 

- Si a y c tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias por ser la raíz cuadrada de una cantidad negativa, y si tienen signo distinto las raíces son reales.

- También, se puede llegar al mismo resultado aplicando la fórmula general de la ecuación  cuadrática completa, teniendo presente que b = 0, o sea, el término bx es nulo, donde tenemos que;

Fórmula General;

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_3.jpg (370×67)

 

 

Si quitamos b, nos quedaría;

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_4.jpg (231×110)

Ejemplos:

a) Resolver la ecuación 7x2 + 14 = 0.

Remplazamos los datos en la fórmula;

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_5.jpg (194×167)

 

Respuesta: Las raíces de la ecuación son ecuaciones_cuadraticas_incompletas_6.jpg (173×238) .  Las dos raíces son imaginarias

 

b) Resolver la ecuación (2x - 3) (2x + 3) - 135 = 0.

Primero resolvemos la ecuación, como hay un producto notable (suma por su diferencia) aplicamos la fórmula (a + (a – b) = a2 – b2;   

 

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_7.jpg (123×97)

 

Ahora, reemplazamos en la fórmula;

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_8.jpg (310×51)

 

Respuesta: Las raíces son 6 y -6, las dos raíces son reales y racionales.

 

1.2- ¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas?

Para resolver las ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas de la forma ax2 + bx = 0, deberás factorizar la ecuación por x. Donde se tiene que;

 

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_9.jpg (236×67)

Igualando a cero ambos factores:

 

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_10.jpg (412×41)

Recuerda que esto lo podemos realizar, ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos o ambos, son iguales a cero.  

 

En las ecuaciones incompletas mixtas, siempre una raíz es cero, y la otra es el coeficiente del término en x con el signo cambiado partido por el coeficiente del término en x2.

 

También, se puede llegar al mismo resultado aplicando la fórmula general de la ecuación cuadrática completa, teniendo presente que c = 0, o sea, el término independiente c es nulo, donde tenemos que;

La fórmula general es;

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_11.jpg (133×101)

Si quitamos c, nos quedaría;

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_12.jpg (600×120)

Y de aquí obtenemos;

 

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_13.jpg (308×128)

 

Ejemplos:

a) Resolver la ecuación 4x2 = - 32x

Ordenamos la ecuación;

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_14.jpg (109×39)

 

Reemplazamos en la fórmula;

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_15.jpg (274×247)

Respuesta: Las raíces son 0 y - 8.

 

b) Resolver la ecuación       ecuaciones_cuadraticas_incompletas_16.jpg (108×249)

 

Para resolver la ecuación hay que quitar los denominadores, para lo cual, tenemos que sacar el mínimo común múltiplo entre 3, 6 y 2, que es 6, y después transponemos los términos para igualar a 0;

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_17.jpg (600×690)

 

Reemplazamos en la fórmula;

 

ecuaciones_cuadraticas_incompletas_18.jpg (600×590)

 

 

Respuesta: Las raíces son 0 y  1/2. 



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