Teorema de Pitágoras
Segundo Medio - Actividad Nº 44



Aprenderás a aplicar el teorema de Pitágoras.



   



1- Pitágoras

Pitágoras de Samos, fue un matemático y filósofo griego, nació en la isla de Samos, actual Grecia, en el año 572 a.C., fundó su escuela en Crotona en el sur de Italia. La escuela pitagórica era una sociedad o secta científica, religiosa y política. Los trabajos de los pitagóricos fueron desarrollados entre los años 585 a.C. y 400 a.C., existía un nivel de secreto en sus enseñanzas. Se dice que Pitágoras huyó a Metaponto, actual Italia, donde fue acecinado, en el año 497 a.C.

Pitágoras transformó las matemáticas en una enseñanza liberal, ya que sus resultados se formaban abstractamente, sin un contexto material, como es el famoso teorema de Pitágoras, que  establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, el cual se utilizaba incluso en civilizaciones anteriores a la griega. Este teorema se encuentra enunciado en el libro I, proposición 48, de los elementos de Euclides.

 

2- Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (lados que componen el ángulo recto).

 

 Teorema_pitagoras_1.jpg (600×530)

 

Para entender mejor este teorema mira la siguiente representación donde se relacionan las áreas;

Teorema_pitagoras_2.jpg (660×760)

 

En todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

 

2.1- Recíproco del teorema de Pitágoras:

Del teorema principal de Pitágoras, se desprende el recíproco; Si en un triángulo, la suma de los cuadrados de dos de sus lados, es igual al cuadrado del tercer lado (el lado mayor), entonces es un triángulo rectángulo.

Dado el Δ ABC;

 

Teorema_pitagoras_3.jpg (600×300)

Si se cumple que; 

 

Teorema_pitagoras_4.jpg (600×90)

Entonces es un triangulo rectángulo es C.

 

Ejemplo:

Si un volantín ha quedado enredado en un poste de 6 metros de altura y el niño que lo tenía ha dejado el carrete en el suelo a 50 metros de este. ¿Cuánto hilo pierde si lo corta?

Primero puedes hacer un dibujo con lo que plantea el problema;

 

Teorema_pitagoras_5.jpg (660×290)

 

Para resolver este ejercicio podemos ocupar el teorema de Pitágoras de la siguiente forma;

 

Teorema_pitagoras_6.jpg (600×180)

 

Respuesta: Si  lo corta pierde  la raíz de 2536 m.

 

 

3. Números pitagóricos:

Son aquellos tríos de números enteros positivos (a, b y c) que cumplen con el teorema de Pitágoras.  Es decir, estos números cumplen que, a2 + b2 = c2.

La terna pitagórica más pequeña es 3, 4 y 5. Es fácil ver que 32 + 42 = 252 (9 + 16 = 25).

Otras ternas pitagóricas; (5,12,13), (8,15,17), (9,40,41)…Las ternas pitagóricas son infinitas, las que se pueden demostrar con la primera terna pitagórica;

Sea n un número entero mayor que 1, diremos que 3 n, 4 n y 5 n son una terna pitagórica ya que;

Teorema_pitagoras_7.jpg (600×90)

 

Así por ejemplo si n = 4 tenemos que; la terna pitagórica seria (12, 16, 20), si verificamos:

 

Teorema_pitagoras_8.jpg (600×230)

 



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