Propiedades de los triángulos semejantes y teorema de la bisectriz
Segundo Medio - Actividad Nº 42



Aprenderás como utilizar las propiedades de los triángulos semejantes y el teorema de la bisectriz.



   



1- Propiedades de los triángulos semejantes

Los elementos homólogos en los triángulos semejantes corresponden a los lados que están opuestos a los mismos ángulos o los elementos secundarios que cumplen la misma función en cada triángulo (alturas, bisectrices, transversales y simetrales).

La razón  de la proporción entre los elementos homólogos de los triángulos se llama razón de semejanza y se denomina con la letra k.

Dados los triángulos ABC y DEF;

 

Propiedades_triangulos_semejantes_1.jpg (660×400)

 

Si Δ ABC y Δ DEF son semejantes, entonces se cumple que:

a. La razón entre los elementos homólogos es constante (k).

 

Propiedades_triangulos_semejantes_2.jpg (600×100)

 

b. La razón entre los perímetros es igual a la razón entre sus elementos homólogos. (k)

 

Propiedades_triangulos_semejantes_3.jpg (660×100)

 

c. La razón entre las áreas es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos. (k2)

 

Propiedades_triangulos_semejantes_4.jpg (660×100)

 

 

2- Teorema de la bisectriz

La bisectriz de un triángulo ABC cualquiera cumple con la siguiente proporción, entre los dos lados que no corta y los segmentos que determina en el lado que corta; 

 

Propiedades_triangulos_semejantes_5.jpg (600×450)

 

Ejemplo 1:

Si AB // DE, ¿Cuál es la razón entre las áreas de los triángulos DEC y ABC? 

 

Propiedades_triangulos_semejantes_6.jpg (600×290)

 

Para resolver este ejercicio sabemos que la razón entre las áreas es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos. (k2)

Entonces, como sabemos la medida del lado CE = 8 y CE = 8 + 8 = 16, podemos calcular la razón de la siguiente forma; 

 

Propiedades_triangulos_semejantes_7.jpg (600×360)

 

Respuesta: Las áreas de los triángulos DEC y ABC, están en razón 1 : 4.

 

Ejemplo 2:

En la figura, Δ ABE ~ Δ BCD, AB = AE, AB = 4 cm, EB = 6 cm y DC = BE/ 2.

¿Cuánto mide el perímetro de la figura?

 

Propiedades_triangulos_semejantes_8.jpg (600×320)

 

Primero, te recomendamos siempre anotar los datos en la figura, para evitar confusiones;

 

Propiedades_triangulos_semejantes_9.jpg (600×320)

 

Designamos a los segmentos, BC = x y DB = y.

Ahora, como la razón de semejanza es constante para los lados homólogos podemos escribir la siguiente proporción;

 

Propiedades_triangulos_semejantes_10.jpg (600×370)

 

 

Como AB = AE entonces, BC = BD

Propiedades_triangulos_semejantes_11.jpg (600×100)

 

Ahora, calculamos el perímetro de la figura;

Propiedades_triangulos_semejantes_12.jpg (600×100)

 

Respuesta: El perímetro de la figura es de 21cm.

Ejemplo 3:

En la figura, α β, AC = 6, CB = 4 y DB = 2, entonces el segmento AD es;

Propiedades_triangulos_semejantes_13.jpg (600×320)

Igual que en ejercicio anterior,  anotamos los datos en la figura, designamos a AD = x;

 

Propiedades_triangulos_semejantes_14.jpg (600×320)

 

Ahora, como α β, podemos  utilizar el teorema de la bisectriz;

 

Propiedades_triangulos_semejantes_15.jpg (600×370)

 

Respuesta: El segmento AD es 3.



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