Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica
Segundo Medio - Actividad Nº 4



Los alumnos serán capaces de ordenar un conjunto de números irracionales en la recta numérica de acuerdo a restricciones dadas.



   



1- Recta numérica
 
Cuando trazamos una recta y a cada uno de sus puntos le asociamos un número, entonces tenemos una recta numérica. Todo número puede representarse en la recta.
 
 
1.1- Números irracionales en la recta numérica 
A cada número racional le corresponde un punto en la recta pero en realidad éstos no completan la recta, también la constituyen los irracionales. En general, representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación. 
 
Sin embargo, con la ayuda del Teorema de pitágoras no es difícil representar geométricamente muchos números irracionales como √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10,etc.
 
Veamos como se puede representar, por ejemplo,  √2
 
√2 = 1,414...,es decir, 1< √2 < 2
 
 
Para representarlo debemos seguir los siguientes pasos:
 
Paso 1: construir sobre la recta numérica un triángulo rectángulo de dimensiones 1cm de ancho 1cm de alto y vamos a llamar x a la hipotenusa.
 
 
Paso 2: aplicar el Teorema de Pitágoras como sigue:
 

 

irracionales_pitagoras.jpg (137×139)

 

 
Paso 3: Ya sabemos que el valor de la hipotenusa tiene como valor raíz de 2, luego con la ayuda de un compás podemos representar en la recta el valor de √2 de la siguiente manera.  Con tu compás toma la dimensión de la hipotenusa, que en este caso es √2, y toma como centro el cero. Luego trazas un arco de circunferencia y el punto de corte con la recta  numérica será el valor de raiz de 2 (longitud desde el punto cero al punto P).
 
 
 
 
irracionales_representacion_raiz_dos.jpg (316×167)
 
 
Con la ayuda de un compás podemos representar exactamente √2 en la recta numérica. 

 


Sabemos que √2  es un número irracional, por lo tanto, el punto P de la recta no puede estar ocupado por ningún otro número irracional.

En general, para localizar de manera geométrica √n, siendo n cualquier número natural, se puede aplicar el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo de catetos 1 y la raíz cuadrada del número natural anterior, es decir, √n-1.
 
Por ejemplo, con el segmento de longitud  √2 y un segmento de longitud 1, se construye un nuevo triángulo rectángulo. Se traza un arco de circunferencia centrada en el punto 0, y de radio igual a la hipotenusa de este nuevo triángulo. La intersección de este arco con la recta numérica es el punto √3 .
 
otra forma de representar una raiz  es escribir el número que está dentro de la raíz, como la suma de dos números al cuadrado (por el Teorema de Pitágoras)
 
Por ejemplo:
 
irracionales_raiz_de_3.jpg (196×55)
 
Buscamos 2 numeros al cuadrado que sumados me den raíz de 3  y el único número al cuadrado que encuentro es la raíz de 2 y 1 al cuadrado. Estos dos números representan las medidas de los catetos del triángulo rectángulo.
 
 
irracionales_raiz_de_3_2.jpg (248×141)
irracionales_raiz_de_3grafico.jpg (330×187)
 
 
 
1.2- Orden de las raíces cuadradas
Mientras mayor sea la cantidad subradical (numero que está bajo la raíz), mayor es la raíz.
 
 
 
23 < 567
 
 
Por ejemplo: Ordena de menor a mayor las siguientes raíces:
 
√14; √5; √8; √3; √17.
 
Respuesta:
 
√3; √5; √8; √14; √17
 

 

 



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