Función inversa
Cuarto Medio - Actividad Nº 6
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Aprenderás que es una función inversa, y como determinar si existe o no para una función dada.

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1- Función inversa

Una función inversa o también llamada recíproca es aquella que cumple que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función.

Entonces, en lenguaje algebraico si tenemos una función;

 

funcion_inversa_1.jpg (600×130)

La Función inversa será;

funcion_inversa_2.jpg (600×130)

 

No todas las funciones tienen una función inversa, ya que si un elemento del codominio no es imagen de un elemento del dominio,  cuando se aplique su función inversa, esta no será función. Por lo tanto, para que una la función inversa exista, la función original tiene que ser biyectiva, lo que obliga que a todos los elementos de B llegue solo una flecha desde A (inyectiva y sobreyectiva a la vez), así, cuando la función inversa actúe a cada elemento de B se le asigna uno y solo uno de los elementos de A.

Ejemplos:

a) Para una función g: A à B definida por el siguiente diagrama sagital;

funcion_inversa_3.jpg (600×600)

 

Determina si g-1 es una función.

Como puedes ver en este caso, la función g es sobreyectiva pero no es inyectiva, ya que    g (a) = g (b) = 1. Entonces, g-1 no es función, ya que el elemento del dominio 1, tendrá dos imágenes (a y b). g-1 (1) = a y g-1 (1) = b.

 

b) Para una función h: A à B definida por el siguiente diagrama sagital;

Determina si h-1 es una función.

Como puedes ver en este caso, la función h es inyectiva pero no es sobreyectiva, ya que     los elementos de B 4 y 5, no son imagen de ningún elemento de A. Entonces, h-1 no es función, ya que los elementos del dominio 4 y 5, no tienen imagen.

 

c) Para una función f: A à B definida por el siguiente diagrama sagital;

funcion_inversa_5.jpg (600×600)

 

Determina si f-1 es una función.

Como puedes ver en este caso, la función f es biyectiva, ya que     todos los elementos de B son imagen de solo un elemento de A. Entonces, f-1 es función, ya que cada elemento de B tiene una única imagen en A.

 

1.1- Gráfica de dos funciones inversas

Si componemos las funciones f con f-1 se dejan todos los elementos del dominio f iguales, ya que si f: A  B y f-1: B  A, nos queda que, f-1 o f: A  A, donde cada elemento corresponderá consigo mismo. A este tipo de función se le llama función identidad.

Entonces, si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

 

funcion_inversa_6.jpg (600×50)

Si graficamos una función f y su función inversa f-1 serán simétricas respecto a la gráfica de la función f (x) = x. 

 

Ejemplo:

- Gráfica de la función f (x) = x + 3 y su función inversa f-1 (x) = x - 3.

funcion_inversa_7.jpg (600×700)

 

1.2- Como determinar una función inversa

1) Despejar x en función de y = f(x).

2) Intercambiar las variables x e y.

 

Ejemplo:

- Dada la función biyectiva f (x) = 3x + 1, definida de R à R.

1) Despejamos x en función de y = f (x).

funcion_inversa_8.jpg (600×360)

 

2) Intercambiamos las variables x e y.

 

funcion_inversa_9.jpg (600×400)

 

Si quieres puedes comprobar si corresponde la función inversa que obtuvimos, reemplazando un valor cualquiera para x en la función original f (x) y el resultado lo reemplazamos en su función inversa f-1(x), de la siguiente forma;

 

- En el ejemplo anterior reemplazamos para la función original x = 1; 

 

funcion_inversa_10.jpg (600×210)

 

- Nos dio como resultado 4, ahora verificamos si corresponde este valor en su función inversa;

 

funcion_inversa_11.jpg (600×500)

 

Como puedes ver la expresión a la que llegamos si es la función inversa.


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