Conjuntos
Cuarto Medio - Actividad Nº 24



Aprenderás a representar conjuntos numéricos según su lenguaje matemático (extensión y comprensión) y la relación entre conjuntos.



   



1- Conjuntos

Un conjunto es una agrupación de objetos con alguna característica en común. Pueden ser personas, números, letras, ciudades, países, etc. Puede ser de cualquier cosa. A los objetos o miembros que componen el conjunto se les denomina elementos o miembros del conjunto.

Generalmente para designar a un conjunto se utilizan las letras mayúsculas A, B, C…y para referirnos a los elementos que forman parte de él, se usan las letras minúsculas a, b, c

Todos los conjuntos se escriben entre llaves {. . .}

Ejemplo:

Conjuntos_1.jpg (600×50)

 

Los conjuntos se pueden definir por extensión o por comprensión.

1.1- Por extensión:

Un conjunto es definido por extensión cuando se escriben todos elementos que forman parte del conjunto, uno por uno, entre paréntesis de llave y separados por una coma.

Por ejemplo, el conjunto de los días de la semana es;

 

Conjuntos_2.jpg (660×50)

 

1.2- Comprensión:

Un conjunto es definido por comprensión cuando se da una o más características que describe todos y cada uno sus elementos.

Así, del ejemplo anterior, el conjunto F se puede escribir;

Conjuntos_3.jpg (600×50)

 

Y se lee de la siguiente manera; “F” es el conjunto de todos los elementos x, tal que x es un día de la semana.

Para definir un conjunto por comprensión, se usan algunos símbolos matemáticos como; 

 

Conjuntos_4.jpg (600×406)

 

 

1.3- ¿Cómo definir un conjunto por extensión y comprensión?

Para explicarlo utilizaremos el siguiente ejemplo;

Escribe por extensión y comprensión el conjunto D de todos los números naturales que sean divisores de 20 y menores que 10.

Para escribir el conjunto D por extensión tendrás que anotar todos los  números naturales divisores de 20 y menores que 10.

Entonces, por extensión nos quedaría;

Conjuntos_5.jpg (600×50)

Y por comprensión utilizamos los símbolos matemáticos;

Conjuntos_6.jpg (660×50)

 

1.4- Relación de conjuntos

Para expresar que un elemento pertenece o no a un conjunto se usan los símbolos;

 

Conjuntos_7.jpg (600×40)

Ejemplo:

Conjuntos_8.jpg (600×160)

 

1.5- Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos A y B son iguales, cuando tienen los mismos elementos. Es decir, A = B.

Ejemplo:

Conjuntos_9.jpg (600×170)

 

En este ejemplo, los conjuntos A, B y C son iguales, ya que tienen los mismos elementos, solo están escritos de diferentes maneras.

 

1.6- Subconjuntos

Diremos que A es un subconjunto de B o está incluido en B, si todos los elementos A son también elementos de B, y se escribe;

Conjuntos_10.jpg (600×40)

 

En caso contrario será;

 

Conjuntos_11.jpg (600×40)

Ejemplo:

 

Conjuntos_12.jpg (600×190)

 

En este ejemplo puedes ver que los elementos de A son también elementos de B. Por lo tanto, A es un subconjunto de B.

 

1.7- diagrama de Venn – Euler

Los diagramas de Venn – Euler o simplemente Venn, consiste en representar conjuntos por figuras geométricas cerradas como círculos, ovoides o incluso cuadriláteros, pero siempre figuras cerradas.

 

Ejemplo:

Si consideramos el ejemplo anterior;

A = {o, u}

B = {a, e, i, o, u}

Y lo representamos en un diagrama de Venn seria;

 

Conjuntos_13.jpg (600×350)

 

Aquí puedes ver que los conjuntos A y B están adentro del conjunto universal U, y donde A es un subconjunto de B.

 

2- Tipos de conjuntos

2.1- Conjunto vacío:

El conjunto vacío o conjunto nulo es el que no posee ningún elemento, y se representa;

Ejemplo:

Conjuntos_14.jpg (660×50)

 

2.2- Conjunto universal:

El conjunto universal es el que está formado por todos los elementos. Este se refiere a todos los elementos posibles de los conjuntos que se están tratando. Se representa con la letra U.

Ejemplo:

Si tratamos con personas, el conjunto universal (U) serían todas las personas del mundo.

 

2.3- Conjunto unitario:

Es el que tiene un único elemento.

Ejemplo:

Conjuntos_15.jpg (600×50)

 

2.4- Conjuntos disjuntos:

Conjuntos disjuntos son los que no poseen ningún elemento en común.

Ejemplo:

Conjuntos_16.jpg (600×100)

Como puedes ver en este ejemplo, no existen elementos en común, ya que uno representa a los números impares y otro a los pares. Es decir, ningún elemento de D pertenece a E.

 

2.5- Conjunto finito:

Un conjunto es finito cuando podemos nombrar hasta su último elemento.

Ejemplo:

Conjuntos_17.jpg (600×50)

 

El conjunto M es finito porque sabemos cuáles son todos los meses del año.

 

2.6- Conjunto infinito:

Un conjunto es infinito cuando no podemos nombrar su último elemento.

Ejemplo:

Conjuntos_18.jpg (600×50)

El conjunto C es infinito ya que, representa a los múltiplos de 3, que son infinitos.

 







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