Progresión geométrica
Cuarto Medio - Actividad Nº 17
Portal Educativo

Aprenderás que es una progresión geométrica y como aplicarla.

Portal Educativo
   


1- Progresión geométrica

Una progresión geométrica es una sucesión numérica donde cada término, excepto el primero, es igual al número anterior multiplicado por una cantidad constante denominada razón de la progresión, representada con la letra r.

En otras palabas, podríamos decir que la progresión geométrica es el patrón que sigue la secuencia. Donde el patrón que sirve para determinar los términos que continúan en la secuencia, es multiplicando por una cantidad fija (r) al número anterior.

Como puedes ver la diferencia entre una progresión geométrica y una aritmética, es que la geométrica se multiplica y la aritmética se suma, una constante.

Ejemplo de una secuencia según progresión geométrica;

Progresion_geometrica_1.jpg (600×50)

Progresión con razón 3.

Si te piden agregar 2 términos a la secuencia anterior, basta con multiplicar por la razón, al número anterior;

 

Progresion_geometrica_2.jpg (600×170)

 

1.1- Términos de una progresión geométrica:

Al igual que en la progresión aritmética, se llaman términos, a cada número de la secuencia, y se representan de la siguiente forma;

 

Progresion_geometrica_3.jpg (600×300)

El término n-ésimo de una secuencia se refiere al término que ocupa la posición n.

 

1.2- Razón de una progresión geométrica:

Se llama razón de una progresión geométrica a la cantidad constante por la cual se multiplican los términos de la secuencia.

La razón es cualquier número real distinto de 0.

Ejemplo 1:

Progresion_geometrica_4.jpg (600×50)

Progresión geométrica con r = 1/5.

 

 

Ejemplo 2:

Progresion_geometrica_5.jpg (600×50)

Progresión geométrica con r = - 3.

Cuando la razón es negativa la secuencia se le llama progresión alternante por que los signos se alternan, positivos y negativos.

 

Ejemplo 3:

Progresion_geometrica_6.jpg (600×50)

Progresión geométrica con r = 1.

Siempre que la razón sea 1, la secuencia se le llamará progresión constante.

Para determinar la razón (r) de una secuencia, hay que dividir los términos de la secuencia por el número anterior a él;

Progresion_geometrica_7.jpg (600×100)

Donde;

r = razón.
an = Cualquier término.
an-1 = Término anterior a An.

Ejemplo:

- Determina la razón de la secuencia;

Progresion_geometrica_8.jpg (600×50)

Si aplicamos la fórmula anterior en cualquiera de los términos (menos el primero) podemos ver qué;

Progresion_geometrica_9.jpg (600×290)

Respuesta: La razón es 4.

 

2- Término general de una progresión geométrica.

2.1- Si conocemos el primer término y la razón.

En una progresión geométrica si conocemos el primer término de la secuencia a1 y la razón r, los términos que continúan en función a ellos son;

Progresion_geometrica_10.jpg (600×470)

Entonces, quiere decir que podemos hallar la posición de cualquier término de la secuencia a partir del primer término y de la razón.

Ejemplo:

- En una progresión geométrica de razón r = 3, conocemos el primer término a1 = 4. Calcula término 4 (a4) de la secuencia.

Reemplazamos;

Progresion_geometrica_11.jpg (600×380)

Respuesta: El término 4 de la secuencia es 108.

 

2.2- Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término y la razón.

También podemos hallar cualquier término de la secuencia, teniendo el valor de cualquier otro término y la razón, si consideramos ak  como el término dado, tenemos la siguiente formula;

Progresion_geometrica_12.jpg (600×60)

Si te fijas es igual a la fórmula anterior, solo que se reemplazo en la fórmula a1 con ak. Es decir, con cualquier término de la secuencia y la razón, puedes hallar otro término.

 

Ejemplo:

- La razón r en una progresión geométrica es 2 y el término 4 (a4) de la secuencia es 48. Halla el primer término.

Sabemos que r = 2 y a4 = 48 reemplazamos en la fórmula;

Progresion_geometrica_13.jpg (600×380)

Respuesta: El primer término de la secuencia es 6.

 

3- Interpolación de términos en una progresión geométrica.

Interpolar medios geométricos, o proporcionales entre dos números a1 y an, es formar una progresión geométrica conociendo los extremos, donde a1 es el primer término, y an el último. Entonces, la progresión geométrica al igual que en la progresión aritmética tendrá, una cantidad de medios o términos que llamaremos m, más los dos extremos (a1 y an), nos queda que n = m + 2 (último término), si reemplazamos en la fórmula del término general, y despejamos r tenemos que;

Progresion_geometrica_14.jpg (600×640)

Como puedes ver, teniendo el primer y último término, puedes encontrar la razón, y formar la secuencia.

 

Ejemplo:

Interpolar 3 términos (o medios) geométricos entre 5 y 3125.

Los datos que tenemos son;

Progresion_geometrica_15.jpg (600×50)

Reemplazamos en la fórmula;

Progresion_geometrica_16.jpg (600×470)

Ahora que ya sabemos la razón, calculamos los términos que se interpolan, luego escribimos la  secuencia;

Progresion_geometrica_17.jpg (600×220)

 

 

4 - Producto de términos en una progresión geométrica.

4.1- Producto de dos términos equidistantes.

En una progresión geométrica se cumple que el producto de dos términos que tienen la misma distancia desde los extremos, es igual al producto de los extremos. También, cuando una progresión geométrica es impar, el término central al cuadrado es igual a producto de los extremos.

Si a1 es el primer término, an el último término y ac el término central, se cumple que;

Progresion_geometrica_18.jpg (660×140)

Ejemplo:

Progresion_geometrica_19.jpg (600×220)

 

4.2- Producto de n términos

Cuando tenemos una progresión geométrica de n términos; a1, a2, a3,…, an-2, an-1, an. El producto de todos los términos representado por la letra P, de una progresión geométrica limitada es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos, elevado a un exponente igual al número de términos que se multiplican;

Progresion_geometrica_20.jpg (660×80)

Ejemplo:

Calcula el producto de los 6 primeros términos de la progresión geométrica; 2, 4, 8, 16, 32, 64…

Progresion_geometrica_21.jpg (600×490)

 

5 - Suma de términos en una progresión geométrica.

5.1- Suma de n términos consecutivos.

Para sumar una cantidad n de términos consecutivos;

Progresion_geometrica_22.jpg (600×50)

Para calcular de manera más rápida, si conocemos el primer término, el último término y la razón, reemplazamos los datos en la siguiente fórmula;

Progresion_geometrica_23.jpg (600×90)

Donde;

Sn = Sumatoria de términos.

a1 = Primer término.

R = razón.

n = cantidad de términos de la suma.

 

Ejemplo1:

Suma de los primeros 10 términos de la progresión geométrica ¼, ½, 1…

Primero calculamos la razón de la PG;

Progresion_geometrica_24.jpg (600×230)

Reemplazamos los datos en la fórmula;

Progresion_geometrica_25.jpg (600×550)

 

Respuesta: La suma de los primeros 10 términos es 255,75.

 

 

5.2- Suma de infinitos términos o suma de términos decrecientes

Cuando la razón es una fracción propia o un decimal de la forma 0,…. equivale a decir que | r | < 0, o que -1 > r < 1, será una progresión geométrica ilimitada decreciente, ya que al sumarle más y más términos, éstos no se acercan a ningún valor en particular.

Entonces, la suma infinita de términos será igual a;

 

Progresion_geometrica_26.jpg (600×100)

 

Ejemplo;

Suma los infinitos términos de la progresión geométrica -4, - 8/3, -16/9. . .

Determinamos la razón;

Progresion_geometrica_27.jpg (600×380)

Ahora reemplazamos en la fórmula de suma infinita;

Progresion_geometrica_28.jpg (600×330)

Respuesta: La suma infinita de términos de la progresión geométrica es -12.

 

6- Modelar una progresión geométrica por medio de una función potencia

Si te fijas en el término general de una progresión geométrica de la forma an = a1 * r(n-1), corresponde a una función potencia de la forma f (x) = axn-1, ya que si las comparas,  f (x) representa el término n – ésimo, que tiene como razón x y como primer término a, por lo tanto, podrás modelar cualquier progresión geométrica por medio de la función potencia.

En la gráfica veremos representado cada término de la progresión geométrica con un punto. Según sea la razón, la función se acercará o alejará de los ejes de las ordenadas y las abscisas respectivamente.  

Ejemplo, si tenemos una función f (x) = 2x4 permite conocer la el quinto término de una progresión geométrica.


Portal Educativo


 ¿Te gustó? Envíanos tus comentarios :)