Función Potencia


Actividad Nº 7



 

1- Función Potencia

La Función potencia, son todas aquellas funciones que son de la forma;

 

Funcion_potencia_0.jpg (600×60)

 

Donde a y n son  números reales distintos de 0.  La Función potencia está definida para los números reales, entonces f: R → R.

Ejemplos;

 

Funcion_potencia_1.jpg (660×120)

 


2- Grafica de las funciones potenciales

Analizaremos los casos en que el exponente es un número entero, donde su gráfica dependerá si tiene un exponente par positivo, impar positivo,  par negativo o impar negativo. Además, veremos como el valor de a influye en la gráfica.

 

2.1- Cuando el exponente es par positivo.

Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número par positivo, la gráfica será una curva simétrica con respecto al eje y.

El dominio de la función siempre serán todos los números reales.

Funcion_potencia_2.jpg (600×60)

El recorrido de la función dependerá del signo de a;

- Si a < 0, la curva estará abierta hacia abajo, en el tercer y cuarto cuadrante, y el vértice será el punto más alto de la gráfica. El recorrido son todos los números reales negativos incluido el 0.

Ejemplo;

 

Funcion_potencia_3.jpg (600×540)

 

- Si a > 0, la curva estará abierta hacia arriba, en el primer y segundo cuadrante, y el vértice será el punto más bajo de la gráfica. El recorrido son todos los números reales positivos incluido el 0.

Ejemplo;

 

Funcion_potencia_4.jpg (600×520)

 

Nota: en los dos casos, el vértice es (0,0).

 

2.2- Cuando el exponente es impar positivo.

Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número impar positivo, la gráfica será una curva simétrica con respecto al origen.

El dominio siempre es el conjunto de los números reales, es decir que x puede tomar cualquier valor real.

Funcion_potencia_5.jpg (600×60)

El recorrido siempre es el conjunto de los números reales, independiente del valor que tome a.

Funcion_potencia_6.jpg (600×60)

Pero cuando a < 0, la gráfica se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante, y la función siempre es decreciente.

Ejemplo;

Funcion_potencia_7.jpg (600×560)

 

 

Pero cuando a > 0, la gráfica se encuentra en el primer y tercer cuadrante, y la función siempre es creciente.

Ejemplo;

 

Funcion_potencia_8.jpg (600×570)

 

Nota: En todos los casos la gráfica pasa por el origen.

 

2.3- Cuando el exponente es par negativo.

Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número par negativo, la función tiene dos asíntotas, que son los ejes x e y.

El dominio de la función son los números reales diferentes de 0.

Funcion_potencia_9.jpg (600×60)

El recorrido de la función dependerá del signo de a;

 

- Si a < 0, las curvas irán hacia abajo, la gráfica estará en el tercer y cuarto cuadrante. El recorrido son todos los números reales negativos.

 

Funcion_potencia_10.jpg (600×60)

 

Para todos los valores negativos de x, la función decrece, y para todos los valores positivos de x, la función es creciente.

Ejemplo;

Funcion_potencia_11.jpg (600×520)

 

- Si a > 0, las curvas irán hacia arriba, la gráfica estará en el primer y segundo cuadrante. El recorrido son todos los números reales positivos.

Funcion_potencia_17.jpg (600×70)

En este caso, para todos los valores negativos de x, la función es creciente, y para todos los valores positivos de x, la función es decreciente.

Ejemplo;

 

Funcion_potencia_12.jpg (600×520)

 

2.4- Cuando el exponente es impar negativo.

Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número impar negativo, la función tiene dos asíntotas, que son los ejes x e y.

El dominio de la función son los números reales diferentes de 0.

 

Funcion_potencia_13.jpg (600×60)

 

El recorrido de la función son los números reales diferentes de 0, independiente del valor que tome a.

 

Funcion_potencia_14.jpg (600×60)

 

- Pero, si a < 0, la gráfica estará en el segundo y cuarto cuadrante. La función es creciente.

Ejemplo;

 

Funcion_potencia_15.jpg (600×520)

 

- Si a > 0, la gráfica estará en el primer y tercer cuadrante. La función es decreciente.

Ejemplo;

 

Funcion_potencia_16.jpg (600×520)

 

 

Nota: Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente, se clasifican en tres tipos; Horizontales, verticales y oblicuas.


 


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Max