Clasificación de funciones


Actividad Nº 5



 

1- Clasificación de las funciones

Las funciones se pueden clasificar por la manera de relacionar los elementos del dominio con los del codominio y recorrido.

 

1.1- Función inyectiva o uno a uno.

Una función es inyectiva cuando cada elemento del recorrido es imagen de sólo un elemento del dominio, es decir, ningún elemento del recorrido es imagen de dos preimágenes diferentes.

En lenguaje algebraico, una  función f de A en B es inyectiva si x e y pertenecen al conjunto A (dominio), necesariamente se cumple que; 

clasificacion_funciones_1.jpg (600×340)

 

Si representáramos una función inyectiva, en un diagrama sagital, de una función f de A en B, veríamos que cada preimagen de A, solo tiene una flecha hacia una imagen en B.

En las funciones inyectivas no es necesario que el recorrido coincida con el codominio.

También se conoce como función uno a uno.

 

Ejemplos:

a) Determina si la función f, del siguiente diagrama sagital es inyectiva.

clasificacion_funciones_2.jpg (600×490)

 

Respuesta: Es una función inyectiva, ya que cada elemento del recorrido, solo recibe una flecha desde A, es decir, cada imagen solo tiene una preimagen.

 

Como puedes ver, los elementos 2 y 5 del conjunto B son parte del codominio pero no pertenecen al recorrido, pero, como no es necesario que estos coincidan, igual es una función inyectiva. 

b) Determina si la función h, del siguiente diagrama sagital es inyectiva.

clasificacion_funciones_3.jpg (600×490)

 

Respuesta: NO es una función inyectiva, ya que el número 3 del conjunto B recibe dos flechas desde A, es decir, el número 3 es imagen de las preimágenes 1 y 3.

 

→ Criterio de la recta horizontal

También puedes determinar si una función es inyectiva a través de su representación gráfica en el sistema de coordenadas.  Se utiliza el criterio de la recta horizontal, el cual, consiste en trazar (como dice el nombre), rectas horizontales. Si la recta corta a la gráfica en un solo punto, la función es inyectiva, y si corta en más de un punto la función no es inyectiva.

Ejemplos:

a) Para la gráfica de la función f determina si es inyectiva.

 

clasificacion_funciones_4.jpg (600×480)

 

Podemos ver que las líneas que trazamos, cortan en un solo punto a la gráfica de la función, esto indica que las imágenes no se repiten, por lo tanto f (x) es inyectiva.

b) Para la grafica de la función g determina si es inyectiva.

 

clasificacion_funciones_5.jpg (600×480)

 

Podemos ver que las líneas que trazamos, cortan en dos puntos la grafica de la función, esto indica que una misma imagen (y) se repite para dos preimágenes, por lo tanto,     g (x) NO es inyectiva.

 

→  Determinar de manera algebraica si la función es inyectiva

Otra forma para determinar si una función es inyectiva es de manera algebraica, esto se hace verificando si se cumple o no que; f (x) = f (y), x = y.

Ejemplos:

a) Determina si la función f(x) = 3 x – 1 es inyectiva.

Comprobamos si se cumple que f (x) = f (y);

 

clasificacion_funciones_6.jpg (600×640)

 

Se cumple la afirmación, ya que si dos imágenes son iguales las preimágenes deben ser iguales, entonces la función es inyectiva.

 

b) Determina si la función f(x) = x2 es inyectiva.

Comprobamos si se cumple que f (x) = f (y);

 

clasificacion_funciones_7.jpg (600×470)

 

No se cumple la afirmación, ya que, si dos imágenes son iguales, habrá dos preimágenes una positiva y otra negativa con la misma imagen. Por ejemplo, si reemplazamos dos elementos del dominio  x = 2 e y = - 2, f (2) = 22 = 4, y f (-2) = - 22 = 4, podemos ver que tienen la misma imagen, por lo tanto no es una función inyectiva.

 

1.2- Función Sobreyectiva o Epiyectiva

Una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del codominio son imagen de al menos un elemento del dominio, es decir, el codominio es igual al recorrido.

En lenguaje algebraico, una  función f de A en B es sobreyectiva cuando;

clasificacion_funciones_8.jpg (600×150)

 

Si representáramos una función sobreyectiva, en un diagrama sagital, de una función f de A en B, veríamos que todos los elementos B tienen al menos una flecha desde el conjunto A.

También se conoce como función epiyectiva.

Ejemplos:

a) Determina si la función m, del siguiente diagrama sagital es sobreyectiva.

 

clasificacion_funciones_9.jpg (600×480)

Respuesta: Es una función sobreyectiva, ya que cada elemento de Y recibe al menos una flecha desde X, es decir, todas las imagen tienen al menos una preimagen.

Como puedes ver, el elemento b es imagen de 1 y 4,  esto no afecta para que sea función sobreyectiva. 

 

b) Determina si la función r de F en G, del siguiente diagrama sagital es sobreyectiva.

clasificacion_funciones_10.jpg (600×480)

Respuesta: NO es una función sobreyectiva, ya que el número 9 del conjunto G no recibe flechas desde F, es decir, no es imagen de ningún elemento del conjunto F.

En el ejemplo anterior, podríamos hacer que la función fuera sobreyectiva si redefinimos su codominio. Podríamos crear un nuevo conjunto por ejemplo, H = G – { 9 },  entonces la función r de F en H es sobreyectiva, porque todos los elementos de H son imagen de un elemento en F.

clasificacion_funciones_11.jpg (600×480)

→ Representación gráfica

También podemos determinar si una función es sobreyectiva observando su representación gráfica en el sistema de coordenadas.

Ejemplos:

a) Determina si la función f: R > R, donde f (x) = x3 es sobreyectiva.

Graficamos la función;

 

Resaltamos el recorrido (imágenes) de la función, para que veas con más claridad si la función es sobreyectiva.

Entonces, en este caso, el dominio, el codominio y el recorrido son todos los números reales.

 

clasificacion_funciones_13.jpg (600×330)

 

Por lo tanto, como el recorrido es igual al codominio es una función sobreyectiva.

 

b) Determina si la función f: R > R, donde f (x) = x2 + 2 es sobreyectiva.

Graficamos la función;

clasificacion_funciones_14.jpg (600×680)

 

También resaltamos el recorrido (imágenes) de la función, para que veas con más claridad si la función es sobreyectiva.

Entonces, en este caso, el dominio, el codominio son todos los números reales, y el recorrido son todos los números reales mayores o iguales a 2. 

clasificacion_funciones_15.jpg (600×320)

 

Como puedes ver, el recorrido y el codominio no coinciden, por lo tanto, no es una función sobreyectiva.

 

Puedes redefinir el codominio de la función f: R > R, donde f (x) = x2 + 2, de modo que sea sobreyectiva

En el ejemplo anterior, vimos que el recorrido de la función eran todos los números reales mayores o iguales a dos. Por lo tanto, si en codominio (conjunto de llegada) fuera igual sería una función sobreyectiva, para esto podemos definir la función como:

 

clasificacion_funciones_16.jpg (600×50)

Entonces, como se redefinió el codominio para f (x) = x2 + 2, y ahora el recorrido es igual al codominio, la función es sobreyectiva.

 

1.3- Función Biyectiva

Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es decir, cuando todas las imágenes tienen una sola preimagen y no existen elementos del codominio que no tengan una preimagen.

En lenguaje algebraico, una  función f de A en B es biyectiva si se cumple que, siendo x e y elementos de A;

 

clasificacion_funciones_17.jpg (600×280)

Si representáramos una función biyectiva, en un diagrama sagital, de una función f de A en B, veríamos que todos los elementos B tienen sólo una flecha desde el conjunto A.

 

Ejemplo de función biyectiva en un diagrama sagital.

clasificacion_funciones_18.jpg (600×480)

 

Entonces, como una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez, puedes ocupar los métodos que ya aprendiste, y comprobar si se cumple esta condición.

Ejemplo:

a- Determina si la función f: R > R, donde f (x) = 2x – 1 es una función biyectiva.

Primero veamos si la función es inyectiva, Comprobando si se cumple que f (x) = f (y);

 

clasificacion_funciones_19.jpg (600×400)

 

Se cumple la afirmación, ya que si dos imágenes son iguales las preimágenes deben ser iguales, entonces la función es inyectiva.

Ahora veamos una función sobreyectiva, graficamos la función;

 

Podemos ver que;

- El dominio o conjunto inicial son todos los números reales.

- El codominio o conjunto final son todos los números reales.

- El recorrido (imagen) son también todos los números reales.

 

Entonces, el codominio y recorrido de f coinciden, por lo tanto es una función sobreyectiva.

Ahora como la función es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es una función biyectiva.

 


 


Creado por Portal Educativo. Fecha: 2015-07-03. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.


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