Razones trigonométricas
Cuarto medio - Actividad Nº 49

 

 

1- ¿Qué es la trigonometría?

La trigonometría corresponde a un área de la matemática dedicada, en sus inicios, al estudio de los elementos de los triángulos para lo cual se dedica a  estudiar la relación entre sus ángulos y sus lados.

Para medir ángulos existen tres unidades de medida:

- Un radián (1 rad) es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco con igual longitud que el radio.

 

radian

- El grado sexagesimal (°), que se obtiene al dividir una circunferencia en 360 partes iguales. Sus subunidades de medida son los minutos y segundos.

- El grado centesimal o gradián (°C), corresponde a cada una de las porciones que se obtienen al dividir la circunferencia en cuatrocientos gradianes.

¿Cómo se relacionan?

Para convertir de una unidad a otra, debemos considerar que un ángulo extendido equivale a:

trigonometria

 

 Aplicando proporción directa (regla de tres simple)

a) Para convertir 45 gradianes a sexagesimal: 

45°C    →    x°
200°C  → 180°

Luego:  x° = (45 • 180) / 200 = 40,5°

b) Para convertir 40,5° a radianes:    

trigonometria

Otras equivalencias:

 

trigonometria

trigonometria

 

¿Cómo lo realizo con la calculadora?

Simplemente cambiando el modo. Pulsa”Mode” hasta que aparezca: 

trigonometria_11.jpg (424×127)

 

Luego, selecciona la unidad de medida de ángulo que necesites usar.

¿Cuándo las uso?

Nuestro sistema de medición corresponde al grado sexagesimal, es común mencionar que un ángulo mide 45° ó 60°. Sin embargo, en trigonometría es muy común utilizar los radianes.

 

2- Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas relacionan la medida de un ángulo con los lados de un triángulo. Para ello se basan en el triángulo rectángulo, donde encontramos dos ángulos agudos y complementarios (suman 90°) y sus lados reciben el nombre de catetos e hipotenusa.

trigonometria

Δ ABC rectángulo en C. a y b son catetos, c es la hipotenusa, α y  β son ángulos agudos.Cada ángulo agudo tiene un cateto opuesto y un cateto adyacente.

trigonometria

 

Así, se definen las razones trigonométricas de un ángulo como la razón entre las medidas de los lados de un triángulo.

trigonometria

 

Para resolver un problema de aplicación, debemos considerar que con los datos que este nos entrega:

- podamos formar un triángulo rectángulo

- tener presente la posición del ángulo y los lados.

 

Por ejemplo:

a) Un árbol forma una sombra 12 m largo. El ángulo a la parte superior del árbol desde el final de la sombra es 68°. Encuentre la altura del árbol.

trigonometria

datos:
α = 68°
cateto adyacente = 12 m
cateto opuesto = x
 
Con los datos que tenemos, utilizaremos la relación tangente del ángulo:
 
tg 68° = x/ 12 
x= 12 tg 68°
x = 29,7 m

El árbol mide 29,7 m aproximadamente.

 

2)  Marta y Rafael caminan por la avenida separados 100 m. Marta ve la esquina izquierda de la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 40º, y Rafael lo hace con un ángulo de 70º. Hallar su altura.

El problema nos plantea esta situación:

trigonometria

AD + DB = 100 ⇒ AD = 100 – DB

Los lados dados, corresponden a catetos del Δ ADC y Δ BDC, rectángulos en D. Por lo tanto, podemos calcular tangentes de los ángulos dados:

 

Despejamos DB en (2) y lo reemplazamos en (1), resultando:

trigonometria_12.jpg (564×281)

 

Creado por Portal Educativo. Fecha: 2016-12-12. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.
 
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