Inecuaciones lineales con una incógnita


Actividad Nº 33



 

1- ¿Que es una inecuación?

Una inecuación es una desigualdad compuesta por dos expresiones algebraicas, relacionadas por los signos de orden; menor que (<), menor o igual que (≤), mayor que (>) o mayor o igual que (≥).

Ejemplo:

Inecuaciones_lineales_una_incognita_1.jpg (600×280)

 

Las inecuaciones pueden tener una o más incógnitas (variables), las cuales solo se verifican para determinados valores de las incógnitas.

El ejemplo anterior, es una inecuación con una incógnita. A las inecuaciones se les llama también desigualdades de condición.

Las expresiones algebraicas que están a ambos lados de la desigualdad, reciben el nombre de miembros de la desigualdad, y a las cantidades que están separadas por los signos más o menos se les llama términos de la desigualdad. Así en el ejemplo anterior los términos son 5x, 3, 2x y 6.

 

1.1- ¿Para qué sirven las inecuaciones?

Las inecuaciones se aplican principalmente en los problemas de decisión en la vida diaria, esto cuando hay más de una alternativa que satisface el problema. La inecuación trata de programar una situación con el objeto de decidirse por una alternativa óptima, donde se busca encontrar el máximo o el mínimo, según sea problema planteado.

Las inecuaciones son utilizadas en diferentes hábitos como, la ingeniería, administración, economía, entre otros. Como por ejemplo, si una familia quiere planificar su gasto mensual, destinará cierta cantidad de dinero a cada necesidad. En el caso de la alimentación, sabemos que existe un mínimo de dinero a gastar, pero a su vez hay que tener un límite máximo, ya que de no tenerlo se sobrepasará el presupuesto total.  Entonces, para entender como varia el monto de dinero destinado para alimentación, podemos aplicar una inecuación.

 

1.2- Inecuaciones lineales con una incógnita:

Se llama inecuaciones lineales o de primer grado, ya que la variable x que aparece en uno o ambos miembros se encuentra elevada a la potencia uno, y con una incógnita (como dice la palabra) solo tiene una variable;

 

Ejemplos de inecuaciones:

 

Inecuaciones_lineales_una_incognita_2.jpg (600×250)

 

La fórmula general de una inecuación lineal se expresa; ax + b ≥ 0; donde a y b representan números reales y a ≠ 0.

Para resolver las inecuaciones es necesario que aprendas las propiedades de las desigualdades, ya que te ayudaran a la transformación de la inecuación inicial, a otra equivalente más sencilla.

Se dice que dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

Resolver una inecuación es encontrar todos los números reales que hacen que sea cierta, los cuales serán la solución de la inecuación.

Las soluciones de una inecuación se pueden expresar mediante, un conjunto, un intervalo o en forma gráfica.

Ejemplo:

Resolver la inecuación 2x – 3 > x + 5 y expresarla por conjunto, intervalo y gráficamente.

Ocupando las propiedades de las desigualdades, resolvemos;

 

Inecuaciones_lineales_una_incognita_3.jpg (660×320)

 

Ahora expresamos la inecuación;

 

Inecuaciones_lineales_una_incognita_4.jpg (600×290)

 

1.3- Problemas con inecuaciones:

Para resolver problemas con inecuaciones puedes seguir los siguientes pasos;

a. Nombra al o los términos desconocidos con una incógnita.

b. Establece una relación entre los datos conocidos y desconocidos, planteando una inecuación.

c. Aplica las propiedades de las desigualdades que sean necesarias y resuelve la inecuación.

d. La solución debe estar en el mismo contexto que el problema planteado, por ejemplo si el problema habla de personas la solución será siempre un número natural, porque no podemos decir que hay media persona o 1,6 de una persona.

 

Ejemplo:

Álvaro estudio para una prueba 3 horas más que Fernando y en conjunto estudiaron a lo menos 15 horas. ¿Cuál es el mínimo de horas que pudo haber estudiado cada uno?

Si seguimos los pasos;

a) Llamaremos H a las horas de estudio de Fernando. (Incógnita)

b) Sabemos que Álvaro estudió 3 horas más que Fernando, y en conjunto estudiaron al menos 15 horas, entonces;

Inecuaciones_lineales_una_incognita_5.jpg (600×200)

 

c) Ahora, para resolver utilizamos las propiedades de las desigualdades;

 

Inecuaciones_lineales_una_incognita_6.jpg (660×480)

 

d) Entonces, como H representa el estudio de Fernando, y H + 3 el estudio de Álvaro entonces la solución será;

Fernando estudio como mínimo 6 horas y Álvaro estudio al menos 9 horas.

 

Ejercicios:

1- En cada caso, comprueba si el valor propuesto forma parte del conjunto de soluciones de la
inecuación correspondiente.
 
a)   x = 2   para 7x – 5  >  2 – 5x
 
b)  x = 0    para 3x – 5  ≤  2x – 5
 
 
2- Resuelve las inecuaciones siguientes de forma numérica y gráfica:
 
a) 2x – 3(2x – 4) ≥ 12 – 6x
 
b)  3x – 3(2x – 1) – 2x ≤ 2x – 4(3x – 1) – 11
 
c)  3 – 2x ≥ (x/ 2 ) – 3(–2x – 1)

 


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