Operaciones de conjuntos


Actividad Nº 25



 

1- Operaciones de conjuntos

En los conjuntos se pueden realizar algunas operaciones básicas, que parten de algunos conjuntos dados y se obtienen nuevos conjuntos.

Sean dos conjuntos, A y B del conjunto universal U.

 

operaciones_de_conjuntos_1.jpg (600×350)

 

Las operaciones básicas que podemos definir entre conjuntos son;

Nota: El resultado de las operaciones representado en un diagrama de Venn lo pintaremos del siguiente color;

color_resultado.jpg (33×35)

 

1.1- Unión de conjuntos:

La unión de dos conjuntos A y B, que se escribe A U B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes y no comunes a ambos conjuntos.

 

operaciones_de_conjuntos_2.jpg (600×50)

Las uniones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la unión se representa de la siguiente forma;

 

operaciones_de_conjuntos_3.jpg (600×330)

 

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común la unión se representa;

 

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión se representa;

 

operaciones_de_conjuntos_5.jpg (600×330)

 

Propiedades de la unión de conjuntos;

1° (A U A) = A

2° (A U B) = B U A

3° A U (B U C) = (A U B) U C

4° A U ᴓ = A

5° A U U = U

 

Ejemplo:

Sean los conjuntos;

operaciones_de_conjuntos_6.jpg (660×110)

 

Representar  A U B en un diagrama de Venn.

Para poder resolver este ejercicio, como los conjuntos A y B están definidos por comprensión, primero es conviene escribir estos conjuntos por extensión, para poder ver todos sus elementos;

 

operaciones_de_conjuntos_7.jpg (600×170)

 

Y luego, representamos la unión en diagrama de Venn;

operaciones_de_conjuntos_8.jpg (600×330)

 

1.2- Intersección de conjuntos:

La intersección de dos conjuntos A y B, que se escribe A B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes de A y B pero.

 

operaciones_de_conjuntos_9.jpg (600×50)

 

Las intersecciones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la intersección se representa de la siguiente forma;

 

operaciones_de_conjuntos_10.jpg (600×330)

 

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la intersección es igual a conjunto vacío (ᴓ) y se representa;

 

operaciones_de_conjuntos_11.jpg (600×340)

 

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión es igual a A, y se representa;

 

operaciones_de_conjuntos_12.jpg (600×330)

 

Propiedades de la intersección de conjuntos;

1° (A ∩ A) = A  Idempotencia

2° (A ∩ B) = (B ∩ A) Conmutativa

3° (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Asociativa

4° A ∩ ᴓ = ᴓ Identidad

5° A ∩ U = A Identidad

 

Nota: La idempotencia es la propiedad para realizar la operación varias veces, y siempre obtener el mismo resultado que se obtendría si se realizara solo una vez.

Ejemplo:

Determina dos conjuntos que puedan dar origen a la intersección;

operaciones_de_conjuntos_13.jpg (600×50)

Para determinar dos conjuntos que den origen a esta intersección debemos buscar conjuntos que contengan estas letras, nosotros haremos los siguientes conjuntos, pero tú puedes formar otros;

operaciones_de_conjuntos_14.jpg (660×110)

 

Si representamos la intersección en un diagrama de Venn quedaría de la siguiente forma;

operaciones_de_conjuntos_15.jpg (600×330)

 

1.3- Diferencia de conjuntos:

La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto formado por los elementos A que no pertenecen a B.

 

operaciones_de_conjuntos_16.jpg (600×50)

 

La diferencia de conjuntos las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia se representa de la siguiente forma;

 

operaciones_de_conjuntos_17.jpg (600×330)

 

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia es igual al conjunto A y se representa;

 

operaciones_de_conjuntos_18.jpg (600×340)

 

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la diferencia es igual a conjunto Vacío (ᴓ), y se representa;

operaciones_de_conjuntos_19.jpg (600×340)

 

d) Cuando todos los elementos del conjunto B pertenecen a A, la diferencia se representa;

 

operaciones_de_conjuntos_20.jpg (600×340)

Propiedades de diferencia de conjuntos;

1° (A - B) ≠ B - A 

2° A - B = A ∩ B’

3° A - ᴓ = A

4° A - U = ᴓ

5° ᴓ - A = ᴓ

6° A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)

 

Ejemplo:

Sean los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, 10 } y B = { 1, 2, 3, 4, 5} .

¿Cuál es la diferencia de A - B?

operaciones_de_conjuntos_21.jpg (600×50)

 

1.4- Conjunto complementario:

Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe Ac, el cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no pertenecen a A.

operaciones_de_conjuntos_22.jpg (600×60)

El conjunto complemento de A lo podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;

 

operaciones_de_conjuntos_23.jpg (600×340)

Es decir, también podemos interpretarlo como;

operaciones_de_conjuntos_24.jpg (600×50)

Propiedades de conjunto complementario;

1° A U AC = U

2° A ∩ AC = ᴓ

UC = ᴓ

4° ᴓC = U

5° (AC)C = A

 

Ejemplo:

Sea U = { a, e, i, o, u } y A = { i, u } ¿cuál es el complemento de A?

Entonces, si quitamos las letras i y u, obtenemos Ac.

operaciones_de_conjuntos_25.jpg (600×60)

 

1.5- Diferencia simétrica de conjuntos:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, que se escribe A Δ B, se define como la diferencia de A U B y A B.

 

operaciones_de_conjuntos_26.jpg (600×110)

 

La diferencia simétrica de conjuntos las podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia simétrica se representa de la siguiente forma;

 

operaciones_de_conjuntos_27.jpg (600×330)

 

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia simétrica es igual al conjunto A U B y se representa;

operaciones_de_conjuntos_28.jpg (600×350)

 

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B, la diferencia simétrica es igual B - A, y se representa;

operaciones_de_conjuntos_29.jpg (600×340)

 

Propiedades de conjunto complementario;

1° A Δ B = B Δ A

2° (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

3° A Δ A = ᴓ

4° A Δ ᴓ = A

5° A Δ U = U - A

 

Ejemplo:

Sean dos conjuntos A = { a, b, c } y { a, b, c, d, e, f } ¿Cuál es la diferencia simétrica de A y B? 

operaciones_de_conjuntos_30.jpg (600×50)

Recuerda: Para poder resolver un  ejercicio con conjuntos definidos por comprensión, primero es conviene escribir  estos conjuntos por extensión, para que sea más fácil resolver los ejercicios.


 


Creado por Portal Educativo. Fecha: 2015-07-03. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.


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Max