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Progresión aritmética
Cuarto medio - Actividad Nº 12

 
 
 
 
 
 
 
Contenido >
 Progresión aritmética
 
 

 
 
 
 
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1- Progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión numérica donde cada término, excepto el primero, es igual al número anterior más una cantidad constante denominada diferencia (o distancia), representada con la letra d.

En otras palabas, podríamos decir que la progresión aritmética es el patrón que sigue la secuencia. Donde el patrón que sirve para determinar los términos que continúan en la secuencia, es sumando una cantidad fija (d) al número anterior.

Ejemplo de una secuencia según progresión aritmética;

Progresion_aritmetica_1.jpg (600×50)

Es una progresión cuya diferencia es 8.

Si quieres continuar la secuencia anterior, basta con sumar la diferencia, al número anterior;

Progresion_aritmetica_2.jpg (660×170)

 

1.1- Términos de una progresión aritmética:

Se llaman términos, a cada número de la secuencia, y se representan de la siguiente forma;

 

Progresion_aritmetica_3.jpg (600×310)

El término n-ésimo de una secuencia se refiere al término que ocupa la posición n.

 

1.2- Diferencia de una progresión aritmética:

Se llama diferencia o razón de una progresión aritmética a la cantidad constante en que aumenta, disminuye o se mantiene una secuencia.

Dependiendo del signo que tenga la diferencia (d) en una progresión aritmética tenemos que;

- Cuando d > 0, es una progresión creciente, donde cada término es mayor que el anterior.

Ejemplo:

 

Progresion_aritmetica_4.jpg (600×170)

 

- Cuando d = 0, es una progresión constante, todos los  términos son iguales.

Ejemplo:

 

Progresion_aritmetica_5.jpg (600×170)

 

- Cuando d < 0, es una progresión decreciente, cada término es menor que el anterior.

Ejemplo:

Progresion_aritmetica_6.jpg (600×170)

 

Para determinar la diferencia (d) de una secuencia, hay que restar a los términos de la secuencia el número anterior a él;

 

Progresion_aritmetica_7.jpg (600×60)

Donde;

 

d = diferencia.

an = Cualquier término.

an-1 = Término anterior a An.

 

Ejemplo;

- Determina la diferencia de la secuencia;

Progresion_aritmetica_8.jpg (600×50)

Si aplicamos la fórmula anterior en cualquiera de los términos (menos el primero) podemos ver que;

 

Progresion_aritmetica_9.jpg (600×190)

 

Respuesta: La diferencia es 4.

 

2- Término general de una progresión aritmética

2.1- Si conocemos el primer término y la distancia.

En una progresión aritmética si conocemos el primer término de la secuencia a1 y la diferencia d, los términos que continúan en función a ellos son;

 

Progresion_aritmetica_10.jpg (660×520)

Entonces, quiere decir que podemos hallar la posición de cualquier término de la secuencia a partir del primer término y de la diferencia.

 

Ejemplo:

- Determina el término 35 de la secuencia,  si sabes que a1 = 2 y d = 4.

Reemplazamos;

Progresion_aritmetica_11.jpg (600×220)

Respuesta: El término 35 de la secuencia es 138.

 

2.2- Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término y la distancia.

También podemos hallar cualquier término de la secuencia, teniendo el valor de cualquier otro término y la diferencia, si consideramos ak  como el término dado, tenemos la siguiente formula;

 

Progresion_aritmetica_12.jpg (600×60)

Ejemplo:

Determina el término 15 (a15) de la secuencia, si sabes que a5 = 25 y d = 3.

Reemplazamos;

Progresion_aritmetica_13.jpg (600×220)

Respuesta: El término 15 de la secuencia es 55.

 

3- Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios aritméticos, o en otras palabras intercalar términos entre dos números por ejemplo a1 y an, es formar una progresión aritmética que tenga como extremos éstos términos dados, donde a1 es el primer término, y an el último. Entonces, la progresión aritmética tendrá, una cantidad de medios o términos que llamaremos m, más los dos extremos (a1 y an), nos queda que n = m + 2 (último término), si reemplazamos en la fórmula del término general, y despejamos r tenemos que;

 

Progresion_aritmetica_14.jpg (600×560)

Como puedes ver, teniendo el primer y último término, más la cantidad de términos a interpolar podemos hallar la distancia y así formar la secuencia.

 

Ejemplo:

Interpolar 5 términos (o medios) aritméticos entre 8 y 44.

Los datos que tenemos son;

Progresion_aritmetica_15.jpg (600×50)

Reemplazamos en la fórmula;

 

Progresion_aritmetica_16.jpg (600×460)

 

Ahora que ya sabemos la distancia escribimos la secuencia;

 

Progresion_aritmetica_17.jpg (600×300)

 

 

4 - Suma de términos equidistantes en una progresión aritmética

En una progresión aritmética se cumple que la suma de términos que tienen la misma distancia de los extremos, es igual a la suma de los extremos. También, cuando una progresión aritmética es impar, el doble del término central es igual a la suma de los extremos.

Si a1 es el primer término, an el último término y ac el término central, se cumple que;

 

Progresion_aritmetica_18.jpg (660×140)

 

Ejemplo:

Progresion_aritmetica_19.jpg (600×230)

 

 

5 - Suma de n términos consecutivos en una progresión aritmética

Para sumar una cantidad n de términos consecutivos, cuando tienes el primer y  último término y la cantidad de términos que debes sumar, puedes utilizar la siguiente fórmula;

 

Progresion_aritmetica_20.jpg (600×100)

Donde;

Sn = Sumatoria de términos.

a1 = Primer término.

an = último término de la suma.

n = cantidad de términos de la suma.

 

Ejemplo:

Suma los primeros 6 términos de la progresión aritmética -3, - 7, - 11, -15, - 19, - 23…

El primer término de esta progresión es - 3 y el término 6 es - 23, reemplazamos;

Progresion_aritmetica_21.jpg (600×360)

Respuesta: La suma de los primeros 6 primeros términos es - 78.

 

Si no sabes el valor del último término de la suma, pero conoces la diferencia, puedes ocupar la siguiente fórmula;

 

Progresion_aritmetica_22.1.jpg (442×100)

Donde;

Sn = Sumatoria de términos.

a1 = Primer término.

d = distancia.

n = cantidad de términos de la suma.

 

Ejemplo:

Suma de los primeros 30 múltiplos de 4;

Para poder sumar estos números tenemos la siguiente progresión aritmética;

 

Progresion_aritmetica_23.jpg (600×50)

 

El primer término de la secuencia es 4, la distancia es 4, reemplazamos en la formula;

 

Progresion_aritmetica_24.jpg (600×370)

 

Respuesta: La suma de los primeros 30 múltiplos de 4 es 1860.

Las dos fórmulas, ahorran tiempo, pero si las comparas equivalen a sumar término a término;

 

Progresion_aritmetica_25.jpg (600×50)

 

 

 
 
 
 
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