1- ¿Cómo representar ecuaciones con balanzas?
Las ecuaciones se pueden representar como una balanza equilibrada, y los miembros de la igualdad están representados en los platillos derecho e izquierdo. A continuación, se muestran algunos ejemplos:
a. El doble de un número es 8.
2x = 8
Para resolver la ecuación, primero se despeja la incógnita (x). En el ejemplo hay dos equis, por lo tanto, se puede despejar dividiendo por 2 en ambos miembros de la ecuación.
Finalmente, para que se produzca una igualdad, el valor de x debe ser igual a 4.
b. El triple de un número aumentado en 2 unidades es igual a 11
3x + 2 = 11
Para despejar la incógnita, primero se debe quitar 2 unidades en ambos lados de la balanza.
Luego, se divide por 3 en ambos miembros de la ecuación.
El valor de x tiene que ser igual a 3 para que se cumpla la igualdad.
1.1- ¿Cómo resolver ecuaciones cuando hay dos incógnitas en ambos lados de la igualdad?
1- Para despejar la incógnita se quitan 2 unidades en ambos lados de la igualdad.
2x + 2 = x + 4 / -2
2x + 2 -2 = x + 4 -2
2x = x + 2
2- Luego, se quita una x en ambos lados de la igualdad.
2x = x + 2 / -x
2x – x = x -x + 2
x = 2
3- Finalmente tenemos que el valor de la incógnita es igual a 2.
1.2- Agregar elementos en una balanza
Agregar elementos en una balanza se asocia a la adición entre los términos.
Ejemplo:
Al reemplazar el valor de 3 en la incógnita, se puede determinar que en los dos lados de la igualdad se representa 11.
1.2- Quitar elementos en una balanza
Quitar elementos de una balanza se asocia a la sustracción entre los términos.
Ejemplo:
Finalmente, para que la igualdad se cumpla el valor de la incógnita debe ser igual a 5.
2- ¿Cómo se resuelven las ecuaciones de manera simbólica?
Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable (por lo general "x") que hacen cierta la igualdad.
Para esto debes aplicar algunas de las propiedades de las operaciones (multiplicación, división, suma, resta, etc.) que aprendiste en cursos anteriores.
3- Términos semejantes
Se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, la misma letra.
Reducir términos semejantes consiste en sumar o restar los coeficientes numéricos y conservar el factor literal común.
Ejemplos:
a) 2x + 3x - 6 x + 4 x = 3 x
b) 5 x + 2 x + 3 y = 7 x + 3 y
Esto es muy importante en la resolución de ecuaciones ya que sólo se pueden sumar o restar términos que sean semejantes.
Además los términos semejantes se pueden reducir a un solo término, lo que facilita la resolución del problema.
4- Ecuaciones con adición o sustracción
Para resolver una ecuación hay que simplificarla. Para ello hay que situar todos los términos con incógnita en un miembro de la ecuación y todos los términos sin incógnitas en el otro miembro. Luego debes despejar la incógnita realizando la operación que corresponda.
para que lo comprendas mejor desarrollaremos un ejemplo:
En este punto debemos pasar el número 4 hacia el otro lado de la igualdad. Cada vez que pasamos un número, de un lado a otro de la igualdad, debemos hacerlo con la operación contraria, en este caso si el 4 estaba sumando, pasa al otro lado de la igualdad restando.
5- Ecuaciones multiplicativas
Para resolver una ecuación multiplicativa debes situar todos los términos con incógnita en un miembro de la ecuación y todos los términos sin incógnitas en el otro miembro. Luego debes despejar la incógnita.
Ejemplo:
Para despejar la "x" debemos pasar el número 8 al otro lado de la ecuación. Al igual que en el caso de la suma, cuando pasamos un número de un lado al otro de la igualdad, debemos hacerlo con la operación contraria. En este caso el número 8 está multiplicando a la "x", por lo tanto debemos pasarlo al otro lado dividiendo. Observa:
6. Resolución de problemas
a- La edad de Laura es el triple de la edad de Juan más 2 años. Si sus edades suman 42. ¿Cuál es la edad de Laura?
Paso 1: Plantear la ecuación
Edad de Juan: x
Edad de Laura: 3x + 2
Suma de sus edades: 42
x + 3x + 2 = 42
Paso 2: Resolver la ecuación
Paso 3: Reemplazar el valor de x en las expresiones para conocer las edades de Juan y Laura.
Edad de Juan: x = 10
Edad de Laura: 3x + 2
3 10 + 2
32
Paso 4: Responder
Juan tiene 10 años y Laura tiene 32 años.
b. El doble de la altura de Joaquín más 20 cm es igual a 340 cm. ¿Cuántos centímetros mide Joaquín?
Paso 1: Plantear la ecuación
Altura de Joaquín: x
2 x + 20 = 340
Paso 2: Resolver la ecuación
Paso 3: Responder
Joaquín mide 160 centímetros.
c. La suma de tres números consecutivos es igual a 75. ¿Cuáles son esos números?
Paso 1: Plantear la ecuación
Número 1: x
Número 2: x + 1
Número 3: x + 2
Suma de los números: 75
x + (x + 1) + (x + 2)= 75
Paso 2: Resolver la ecuación
Paso 3: Reemplazar el valor de x en las expresiones para conocer los valores de los tres números:
Número 1: x
24
Número 2: x + 1
24 + 1 = 25
Número 3: x + 2
24 + 2 = 26
Paso 4: Responder
Los tres números consecutivos son 24, 25 y 26.
d. La medida del largo de un terreno rectangular es el triple de su ancho. Si su perímetro es de 720 m. ¿Cuánto mide el largo y ancho del terreno?
Paso 1: Plantear la ecuación
Ancho terreno: x
Largo del terreno: 3x
Perímetro: 720
x + x + 3x + 3x = 720
Paso 2: Resolver la ecuación.
Paso 3: Reemplazar el valor de x en las expresiones para conocer los valores del ancho y largo del terreno rectangular.
Ancho terreno: x
90 m
Largo del terreno: 3x
3 90 = 270 m
Paso 4: Responder
El ancho del terreno mide 90 m y el largo mide 270 m.
Recuerda:
- Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro lado de la igualdad restando. Si está restando pasa sumado.
- Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro lado de la igualdad dividiendo y si los divide pasa multiplicando.
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