Expresiones algebraicas y ecuaciones lineales

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Contenidos - Actividad Nº 1554

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Expresiones algebraicas y ecuaciones lineales

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1- ¿Qué es una expresión algebraica?

Es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre si por los signos de las operaciones aritméticas.

Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) o - (menos) se llaman términos de la expresión. Término es entonces una cantidad aislada o separada de otras por el signo + o -.

1.1- Valorización de expresiones algebraicas
Valorar una expresión algebraica consiste en asignar un valor numérico a cada variable y posteriormente se resuelven las operaciones involucradas.

Ejemplo 1:
Si a= 4, b= 5 y c=15, ¿cuál es el valor de c (a + b)?

$c (a + b) 15 (4 + 5) 15 \cdot 9 135$

Ejemplo 2:
Si a= 3, b= 6 y c=12, ¿cuál es el valor de ac + bc?

$a c + b c 3 \cdot 12 + 6 \cdot 12 36 + 72 108$

Ejemplo 3:
Si a= 6, b= 10 y c=2, ¿cuál es el valor de $(\frac{a}{b + c}) \cdot (\frac{c + a}{b})$ ?

$(\frac{a}{b + c}) \cdot (\frac{c + a}{b}) (\frac{6}{10 + 2}) \cdot (\frac{2 + 6}{10}) (\frac{6}{12}) \cdot (\frac{8}{10}) \frac{48}{120} \frac{: 24}{: 24} = \frac{2}{5}$

1.2- Representación del perímetro de figuras geométricas con expresiones algebraicas

Recuerda que el perímetro es la longitud del contorno de una figura geométrica, para calcularlo se suman las medidas de todos sus lados.
Primero, observa cómo calcular el perímetro de figuras regulares como el triángulo equilátero y el cuadrado.

¿Cómo se podría expresar algebraicamente el perímetro de una figura regular?

Se multiplica el número de lados que tiene la figura por su medida, lo que se puede expresar como:

1.2- Expresiones algebraicas para determinar áreas de figuras

Área del cuadrado: se calcula multiplicando la medida de la base por la medida de la altura.

Área del rectángulo: se calcula multiplicando la medida de la base por la medida de la altura.

Área del triángulo: se calcula multiplicando la medida de la base por la medida de la altura. Luego, el producto se divide en 2.

2- ¿Qué es una ecuación lineal?

Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

3- Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico nos permite representar una información dada mediante operaciones con números y letras.

Las letras que se utilizan en el lenguaje algebraico pueden cumplir 2 funciones:

- Ir tomando valores que varían, por lo que también se les llama variables.

- Utilizarlas en el lugar de una cantidad desconocida, en ese caso se les llama incógnitas.

Así, se puede representar la suma de dos números como x+y y el triple de la suma de dos números como 3(x+y).De esta forma se realiza una traducción de enunciados a lenguaje algebraico.

Asi mismo mediante la traducción de enunciados se pueden expresar números desconocidos en términos de otros.

Por ejemplo, si la edad de Juan es x y Lola tiene el triple de la edad de Juan más cuatro años, se puede expresar la edad de Lola como 3x+4 y si Pedro tiene el doble de la edad de Lola, se puede expresar la edad de Pedro como 2(3x+4).

Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas más usadas, en forma verbal y escrita:

- La suma de M y N ⇒ M + N

- La diferencia entre A y B ⇒ A - B (recordemos que el término diferencia es lo mismo que resta).

- El producto de M y N ⇒ M • N o MN (recordemos que el término producto es lo mismo que multiplicación).

- El cociente entre P y Q ⇒

\frac{P}{Q}

(recordemos que el término cociente es lo mismo que división).

-Un número aumentado en 8 ⇒ X + 8 En este caso llamamos X al número que no conocemos. La palabra aumentado también puede ser incrementado y eso es sinónimo de suma.

-Un número disminuido en 6: Y - 6 En este caso llamamos Y al número que no conocemos. La palabra disminuido es sinónimo de resta.

- El doble de H⇒ 2 • H

- El triple de N ⇒3 • N

- La mitad de X ⇒ X / 2

- La tercera parte de Y⇒

\frac{Y}{3}

- La cuarta parte de L ⇒

\frac{L}{4}

- El doble de la suma de dos números⇒ 2(a+b)

- El triple de la diferencia de dos números⇒ 3( x - y )
- El cuádruplo de la suma de M y P ⇒ 4 • (M+P)

- La mitad de la diferencia de dos números⇒

\frac{(X - Y)}{2}

(mitad equivale a decir la resta dividida por 2)

- El cuadrado de X ⇒ X²

- El cubo de Y⇒ Y³

Ejemplos:

Escribe las frases siguientes mediante una expresión algebraica:

a) En un cumpleaños había un número de personas y se fueron cuatro →

x - 4

b) Un número consecutivo a otro →

x + 1

c) Un número menos su quinta parte →

x - (\frac{x}{5})

d) La suma entre la tercera y la cuarta parte de un número. →

\frac{x}{3} + \frac{x}{4}

e) La diferencia entre el doble de un número y su sexta parte →

2 x - \frac{x}{6}

f) La mitad de un número es doce →

\frac{x}{2} = 12

g) La mitad de un número disminuida en cuatro unidades da siete →

\frac{x}{2} - 4 = 7

h) El doble de la edad de Juan aumentado en doce da cuarenta y dos. ¿Cuántos años tiene Juan?

Para resolver este problema sigue los siguientes pasos:

1.º Leemos atentamente el enunciado e identificamos la incógnita: La incógnita x es el número buscado.

2.º Traducimos el enunciado del problema al lenguaje algebraico:

El doble de la edad de Juan: 2x

aumentado en doce : 2x+ 12

da cuarenta y dos: 2x+ 12 = 42

3.º Resolvemos la ecuación:

2 x + 12 = 42 / - 12 2 x + 12 - 12 = 42 - 12 2 x = 30 / : 2 \frac{2 x}{2} = \frac{30}{2} x = 15

4.° Respuesta: Juan tiene 15 años.

i) En mi clase hay cuatro mujeres más que hombres. ¿Cuántas mujeres y hombres hay si en total somos veintiséis?

- Identificamos la incógnita:

Mujeres = M

Hombres = X

- Traducimos el enunciado del problema al lenguaje algebraico:

En mi clase hay cuatro mujeres más que hombres.

→ H = X

→ M = x + 4

en total somos veintiséis: M + H = 26

(x + 4) + x = 26

Reemplazamos:

(x + 4) + x = 26 2 x + 4 = 26 / - 4 2 x + 4 - 4 = 26 - 4 2 x = 22 / : 2 \frac{2 x}{2} = \frac{22}{2} x = 11

Ya tenemos que nuestra incógnita x es 11 por lo tanto los hombres son 11.

Ahora podemos obtener la incógnita M reemplazando el valor de x en → M = x + 4

Luego:

M = x + 4

M = 11 + 4

M = 15 → tenemos que son 15 mujeres.

- Ahora estamos en condiciones de responder nuestra pregunta: Hay 11 hombres y 15 mujeres.

- Comprobamos la solución: 11 + 15 = 26

j) Las edades de tres hermanos que nacieron cada tres años suman 48. ¿Cuántos años tienen los tres hermanos?
Las edades de los hermanos se pueden expresar de la siguiente manera:
Hermano menor: x
Segundo hermano: x + 3
Hermano mayor: x + 6

$x + x + 3 + x + 6 = 48 3 x + 9 = 48 / - 9 3 x + 9 - 9 = 48 - 9 3 x = 39 / : 3 \frac{3 x}{3} = \frac{39}{3} x = 13$

A continuación, se reemplaza el valor de x en las expresiones correspondientes para conocer las edades de los hermanos:
Hermano menor: x
                           13

Hermano del medio: x + 3
                                 13 + 3 = 16

Hermano mayor: x + 6
                           13 + 6 = 19

Las edades de los tres hermanos son 13, 16 y 19 años.